1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

6. Aynigan Fermi va Boze gazining kimyoviy potensiali
Tizim kimyoviy potensialini, ozod energiyadan zarralar soni bo’yicha xususiy hosila olish yo’li bilan aniqlash mumkin ekanligi bizga ma’lum ((5.3) ga qarang). Bundan tashqari kimyoviy potensialni zarralar soni belgilangan deb hisoblab, taqsimot funksiyasining normallashtirish sharti orqali ham aniqlash mumkin. Boze-Eynshteyn va Fermi-Dirak taqsimotlarining normallashtirish sharti:


(6.1)

ko’rinishiga ega bo’ladi. Bu yerda va quyida yuqori ishora Fermi-Dirak, quyi ishora esa Boze-Eynshteyn statistikasiga tegishlidir. Normallashtirish shartida ishtirok etuvchi μ- kimyoviy potensial N va  larning funksiyasi sifatida aniqlanadi. Bundan kimyoviy potensialni keltirib chiqarish uchun V=L³ hajmli yashik ichida erkin harakat qilayotgan zarraning energetik spektri qiymatidan foydalanamiz. Ma’lumki, bu holda (1.9) ga asosan energetik spektr diskret bo’lib,

(6.2)

ko’rinishga ega. Bu yerda

Kvant sonlarning katta qiymatlarida (6.2) energetik spektrni n₁, n₂, n₃-larning uzluksiz funksiyasi deb qarash mumkin. Bundan tashqari agar g()d energiyaning  - dan +d gacha oralig’iga to’g’ri keluvchi kvant holatlar soni desak, (6.1) o’rniga normallashtirish shartini:
(6.3)

ko’rinishida olish mumkin bo’ladi. g(ε)-kvant holatlar zichligi.

Bu yerda:
(6.4)

belgilash qabul kildik. (6.2) dan ko’rinib turibdiki, kvant holatlar soni

(6.5)

Kvant holatlar sonini bilish ko’plab o’zaro ta’sirga ega bo’lmagan zarralardan tashkil topgan tizimlar nazariyasini o’rganishda asosiy rol o’ynaydi. Agar zarra spinini hisobga olsak, kvant holatlar soni uchun berilgan (6.5) ifodasini zarralar soni uchun oriyentasiyalarini beruvchi (2s+1) ga ko’paytirish lozim. Shunday qilib,

g()d()=aV^1/2d (6.6)
bu yerda:
(6.7)

(6.6) ni hisobga olgan holda (6.3) ko’rinishida berilgan normallashtirish shartini quyidagi ko’rinishda ifodalash mumkin:

(6.8)

Bu formuladan foydalanib, ning aniq formulasini berib bo’lmaydi. Shuning uchun ideal kvant gazining kuchli va kuchsiz aynigan chegaraviy hollarini alohida tekshirishga to’g’ri keladi. Kuchli aynigan (μ>>θ) Fermi gazi uchun kimyoviy potensial 8-§ da hisoblangan ((8.9)formulaga qarang).

Biz quyidagi kuchsiz aynigan ideal gaz uchun kimyoviy potensialni aniqlaymiz. Boshqacha qilib aytganda, kimyoviy potensialning klassik ifodasiga, ya’ni (5.3) formuladagi kichik qo’shimchalarni hisoblaymiz.
Buning uchun
(ya’ni μ<0) (6.9)
deb hisoblaymiz. Bu tengsizlikni (6.8) ga tadbiq etamiz va uning integral osti ifodasini bo’yicha qatorga yoyamiz. U holda:

bu yerda
(6.11)

Shunday qilib, zarralar konsentrasiyasi

(6.12)

Agar (6.11) da faqat l=1 hadnigina hisobga olsak,

bo’ladi va bu (5.4) da ifodalangan (S=0 desak) klassik gaz natijasini beradi. (6.12) ning keyingi yaqinlashuvida, ya’ni l=2 bo’lgan hadda λ o’rniga λ₀ qabul qilsak:

(6.13)

Bu va (6.4) ifodalarni hisobga olsak, u holda:

(6.14)

ifodasini hosil qilamiz. Bundan ko’rinib turibdiki, kuchsiz aynigan Fermi gazining kimyoviy potensiali klassik gaz kimyoviy potensialiga nisbatan katta, Boze gazining kimyoviy potensiali esa klassik gaz kimyoviy potensialiga nisbatan kichik bo’lar ekan.