1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

50. Absolyut nol temperaturada metallardagi
elektronli gaz

Past temperaturada elektron gazining, ya’ni Fermi tizimining xususiyatlarini tekshiraylik. Metalldagi elektronlar to’plamini ma’lum darajada aynigan ideal Fermi gaz deb qarash mumkin. Shuning uchun ham Fermi gazining xususiyatlarini o’rganish katta ahamiyatga ega. Dastlab, absolyut nol temperaturalarda bo’lgan Fermi gazini tekshiramiz. Bunday gazda elektronlar turlicha kvant holatlar bo’yicha shunday taqsimlangan bo’ladiki, ularning to’la energiyasi o’zining minimal qiymatiga ega bo’ladi. Energiyaning ~+d oralig’iga to’g’ri keluvchi kvant holatlar soni

(*)

Bu yerda har bir energetik sathga 2 ta spini qarama-qarshi yo’nalgan elektronlar holati bo’lishi mumkinligi hisobga olingan. Shuning uchun (*) formulada 2 - ko’paytuvchisi qo’yilgan. Shuning sababli energiyaning oralig’iga to’g’ri keluvchi elektronlar soni:

(9.1),

Fermi taqsimoti T→0 bo’lganda (12a- chizma):

(9.2)
μ₀ – absolyut nol temperaturadagi kimyoviy potensial, bunga absolyut noldagi maksimal energiya deyiladi. (9.2) formulasi


12a-chizma Absolyut nol tempera turada Fermi-Dirak taqsimoti grafigi
oddiy ma’noga ega; tashqariga energiya chiqarmaydigan energetik


12b-chizma. Absolyut nol temperaturada barcha elektronlar joylashgan Fermi-sfera

to’siq bilan o’ralgan chekli hajmda harakat qiluvchi ko’plab elektronlardan tashkil topgan tizimning sathlari deyarli cheksiz spektrni tashkil etadi (11b –chizma).

Absolyut nolga yaqin juda past temperaturalarda metalldagi elektronlarning xususiyatini tekshiraylik.
Aytaylik, metallni tashkil etgan barcha atomlar ionlangan bo’lsin. Faraz qilaylik, har bir atom o’zidan bitta elektronni yo’qotgan bo’lsin. Metalldagi elektronlar soni bu holda atomlar soniga teng bo’ladi va elektronlar zichligi juda katta bo’lib, butunlay betartib harakat qiladi (metall ichida). Elektronlar zichligining kattaligiga qaramasdan, ularning o’zaro ta’sirini ideal gaz deb hisoblaymiz. Metallning barcha hajmi bo’yicha elektronlar teng taqsimlangan bo’ladi. Juda ko’plab elektronlardan tashkil topgan tizimning energetik sathlari deyarli uzluksiz spektrni tashkil qiladi. Pauli prinsipi mavjudligi tufayli energiyasi nolga teng bo’lgan past energetik sathni faqat spinining proyeksiyasi qarama-qarshi yo’nalishga ega bo’lgan ikkita elektron egallaydi. Qolganlari esa tartib bilan uyg’otilgan energetik sathlarda bo’ladi. Agar tizimda N-ta elektron bo’lsa, absolyut nol temperaturada ular energiyasi bo’lgan N/2 ta eng past energetik sathlarni egallaydi. Impulslar muhitida barcha elektronlar Fermi-sfera ichida joylashgan bo’ladi (11 v-chizma). Qolgan barcha sathlar esa elektronlardan holi bo’ladi. Faqat Pauli prinsipi mavjudligi uchun elektronlar absolyut nolda ham uyg’otilgan hollarda bo’ladi.
Elektronlar bilan to’ldirilgan holatlardan yuqorisiga taalluqli bo’lgan energiya ni hisoblaylik.

yoki
(9.3)

Absolyut nol temperaturada barcha elektronlarning energiyasi

(9.4)
qiymatga ega.
Elektronli gazdagi bitta elektronning T=0 dagi o’rtacha energiyasi ga teng bo’ladi.
N/V~10¹⁹ desak, (9.3) ga asosan ₀=5 eV (~ 6·10⁴ grad) bo’ladi.
T=0 ligida elektronning maksimal tezligi bu holda:


(9.3^/)

bo’ladi. (9.3^/) dan ko’rinib turibdiki, hatto T=0 bo’lganida ham elektronlarning tezliklari ancha kata bo’ladi. Bundan biz ko’rib turibmizki, elektronli gazning xususiyatlari klassik atomli gazlar xususiyatidan tubdan farq qilar ekan.

Malumki, klassik tushunchaga asosan zarralar T=0 ligida harakatdan to’xtaydi. Bu yerda biz ko’rib turibmizki, elektronlar absolyut nol temperaturada ham turlicha tezliklar bilan harakat qiladi. Bu elektronlarning o’rtacha tezligi juda katta. Lekin shunga qaramay, T=0 ligida elektronli gazning issiqlik sig’imi aniq nolga teng bo’ladi. Darhaqiqat:


(9.5)

chunki gazning energiyasi T=0 ligida temperaturaga bog’liq emas.

Metallda harakat qiluvchi elektronlar, xuddi biz oldin ko’rgan klassik gaz kabi idish devoriga ma’lum bir bosim bilan ta’sir qiladi. Ma’lumki, tizimning ozod energiyasi F=E-TS va uning bosimi ko’rinishga ega. Bizning hol uchun F=E₀ bo’lganligi tufayli:

Demak,
(9.6)

Bu formula gazlarning oddiy kinetik nazariyasi natijasiga to’la mos keladi. Bir valentli metallar uchun bosim r=2·10⁵ atm. Lekin bosimning bunchalik katta qiymati metalldagi ionlarning tortishish kuchi bilan kompensasiyalanadi, shuning uchun elektronlar metall ichida saqlanadi, aks holda barcha elektronlar metalldan chiqib ketgan bo’lar edi.

Elektronli gazni ideal Fermi gazi deb hisobladik. Ma’lumki, aynigan gazning zichligi juda katta va bu gaz zaryadlangan zarralardan tashkil topgan. Elektronli gazni ideal gaz deb hisoblash mumkin, agar undagi elektronning kinetik energiyasi o’zaro ta’sir energiyasining o’rtacha qiymatidan katta bo’lsa.
Elektronning o’rtacha kinetik energiyasi (9.4) formula orqali berilgan bo’lib, elektronlarning o’zaro ta’sir o’rtacha energiyasi ga ( -elektronlar orasidagi o’rtacha masofa) teng. Agar masofa ~(V/N)^1/3 bo’lsa, (V/N- hajm birligidagi elektronlar va ionlar soni) o’zaro ta’sir energiyasining kichiklik sharti:

bo’ladi. (9.3) ga asosan:

bo’lganligi uchun:

bo’ladi.
Oxirgi munosabatdan ko’rinib turibdiki, elektronli gazning zichligi katta bo’lganda o’zaro ta’sir energiyasi kinetik energiyaga nisbatan kichik bo’ladi.
Shunday qilib, elektronli gazni ideal gaz deb hisoblash mumkin bo’lsin uchun uning zichligi yetarli darajada katta bo’lishi lozim.