1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

3. Kvant tizimlarning statistik taqsimoti

Kvant tizimlar uchun kanonik taqsimot klassik statistik fizikadagi taqsimotni umumlashtirish yo’li bilan bo’ladi, ya’ni undagi H(q,p) Gamilton funksiyasini operator bilan almashtiriladi. Shunday qilib, statistik muvozanat holatda kvant tizimlar uchun zichlik matrisasi

(3.1)

Bu birga normalashtirilgan:

(3.2)

Zichlik matrisasi (3.1) faqat - ga bog’liq, shuning uchun vaqtga bog’liq bo’lmaydi, ya’ni taqsimot stasionar. _n-bazisli funksiyalar tasvirida -operatori o’zining matrisali elementlari orqali aniqlanadi.

Bu va (3.1) ga asosan zichlik matrisasining dioganal elementlari:

(3.3)
Ma’lumki,




va

Shuning uchun:
(3.4)
- (3.1) matrisaning (3.4) ko’rinishidagi energetik tasvirini statistik vazn deb ataydilar. Bu holda (3.2) normallashtirish sharti:
(3.5)
bo’ladi. Bu yerda g_n n-chi sathining aynish darajasini anglatadi va statistik vazn deb ataladi.
Tizimning o’rtacha energiyasi:


(3.6)
Ozod energiya va entropiya tushunchalarini kvant tizimlariga umumlashtiramiz:
(3.7)
(3.8)


-zichlik matrisasi. (3.3),(3.1)va (3.7) dan:


(3.8a)

(3.7) ni hisobga olgan holda (3.1) ni quyidagicha yozish mumkin:

(3.9)
(3.10)
Statistik muvozanat holatda G kattaligining kvant tizimi uchun o’rtacha qiymati:


(3.11)
Bu yerda G kattaligi -operatorining energiya tasavvuridagi matrisa elementi
(3.12)
esa operatorining xususiy funksiyasi.
Kvant statistik o’rtachani topishning xarakterli xususiyati shundan iboratki, unda bo’yicha integrallashga bog’liq bo’lgan kvant mexanikasidagi qoida bo’yicha o’rtachalashtirish (<…>) va k=1,2,3.... yig’indi bilan bog’liq bo’lgan ansambl bo’yicha o’rtachalashtirishdir.
Misol tariqasida kvant ossilyatorning statistik xususiyatlarini ko’rib chiqaylik. Uning energiyasi kvantlangan va faqat diskret qiymatlar qabul qiladi.
Chiziqli garmonik ossillyator energiyasining xususiy qiymati bo’lganligi uchun statistik vazn g_n=1 bo’ladi. U holda statistik yig’indi:
(3.13)
Cheksiz ravishda geometrik progressiya bilan ( ) kamayib boruvchi qator formulasini statistik yig’indiga tadbiq etamiz


(3.14)

Bu va (3.6) dan ossilyatorning o’rtacha energiyasi uchun:

(3.15).
Temperaturaga bog’liq bo’lmagan hadga va da ham da saqlanuvchi bu hadga nolinchi energiya deyiladi.
Yuqori temperaturalarda ni bo’yicha qatorga yoyish mumkin. U holda
(3.16)