1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

51. Past temperaturalarda metallardagi elektronli gaz

Endi elektronli gazning xususiyatlarini T≠0 holi uchun, lekin hamon yetarli darajada past temperaturalar uchun tekshiraylik. Faraz qilaylik:

k₀T<<_max (₀)
bo’lsin (_max – elektronlarning T=0 ligidagi maksimal energiyasi). Bu holda elektronli gazning issiqlik uyg’onishi unchalik sezilarli bo’lmaydi. Bu esa, issiqlik aynish
vaqtida elektronlarni T=0 da bo’lgan
energetik holatlardan sal yuqoriroq qo’shni energetik holatlarga ko’chiradi. Lekin bu issiqlik aynish energiyasi <<₀ bo’lgan elektronlarni energiyasi >₀ holatga ko’chiraolmaydi. Bu aynish elektronlarni oralig’i k₀T - gacha bo’lgan holatlargagina ko’tarish imkoniyatiga ega. Bu holda elektronlarning holatlar bo’yicha taqsimot funksiyasi T=0 holdagiga nisbatan farq qiladi. 13-chizmaning <₀ sohasida egri chiziq bo’lishi elektronlarning ularga mos keluvchi energetik sathlaridagi o’rtacha soni «1» dan kichik bo’lishini anglatadi. Shu shartlarga bo’ysunuvchi elektronli gaz uchun kimyoviy potensialni va o’rtacha energiyani hisoblaymiz.


Kimyoviy potensialni hisoblamoq
uchun normallashtirish shartidan foy-dalanamiz:




13 - chizma. Fermi-Dirak
taqsimotining energiyaga bog’liqlik grafigi


(10.1)

Elektronli gazning o’rtacha energiyasi:

(10.2)

(10.1) va (10.2) – larda ishtirok etuvchi integrallar umumiy holda olinmaydi. Bu integrallarni past temperaturalarda olish uchun uchun quyidagicha ish ko’ramiz.

Ma’lumki, ideal Fermi gazi uchun taqsimot funksiyasi:


(10.3)

ko’rinishga ega. Yuqoridagi integrallarni umumiy holda:

(10.4)
(n>0)
ko’rinishda ifodalash mumkin. Bu integralni bo’laklab integrallaymiz


(10.4^/)

Ko’rinib turibdiki w/ o’z argumentining juft funksiyasi bo’ladi va = bo’lganda katta maksimumga ega bo’ladiki, buni -funksiyasining bir ko’rinishi desak bo’ladi.

x=(-)/k₀T o’zgaruvchi kiritamiz:
=+k₀T·x;
U holda (10.4):

-/k₀T- deb olish mumkin, chunki biz past temperaturali sohani tekshirayapmiz (k₀T<<).

W/x noldan holi bo’lgan x – ning o’zgarish sohasida, ya’ni ~ sohasida x - juda kichik miqdordir. Shuning uchun integral ostidagi ko’paytuvchini x bo’yicha qatorga yoyish mumkin. x - ning katta qiymatlarida esa integral ostidagi miqdor nolga aylanadi, chunki w/x o’zgaruvchi x=0 dan uzoq sohada cheksiz kichikdir.
Shunday qilib:


(10.5)

(10.5) dagi II-integral nolni beradi, chunki bu haddagi integral ostidagi o’zgaruvchi toq funksiyadir.

(10.6)
Bundan:
(10.7)

Normallashtirish shartida n=1/2 bo’lganligi uchun (10.1)-ga (10.7) - ni tadbiq etib quyidagini hosil qilamiz:

(10.8)

Elektronli gazning kimyoviy potensiali absolyut nol temperaturada elektronning T=0 dagi maksimal energiyasiga teng bo’ladi. Absolyut nol temperaturaga yaqin temeraturalarda (10.8)-ni -ga nisbatan yaqinlashuv metodi bilan yechish mumkin, ya’ni (10.8) ning ikkinchi hadida =₀ deb olish mumkin.

U holda:
(10.9)

Xuddi shuningdek, elektronli gazning o’rtacha energiyasi (10.2), (10.4) va (10.7) ga asosan:

(10.10)
Shunday qilib, elektronli gazni T<₀/k₀ temperaturalarda aynigan deb hisoblash mumkin.
(10.10) – dan elektronli gazning issiqlik sig’imi:


(10.11)

Elektronli gazning C_V ci temperaturaning chiziqli funksiyasi ekan va u T=0 da nolga aylanadi.

Qo’rg’oshin metali uchun (bir valentli) nazariya bo’yicha:
C_V=0,9·10^-4 Nk₀T (10.12)

Bundan ko’rinib turibdiki, va shuningdek tajriba natijalari ham shuni ko’rsatadiki, elektronli gazning issiqlik sig’imi kristall panjara issiqlik sig’imiga nisbatan (S_V^pan~T³) juda kichik bo’ladi.

(10.13)

Qo’rg’oshin uchun ₀=5 eV xarakterli temperatura T_D=365⁰K (Debay temperaturasi) va

bo’ladi agar T=3,3K bo’lsa. Bundan ham past temperaturalarda esa bo’ladi. Hozirgi zamon tajribasi ham yuqorida bayon etilgan nazariy formulalarning to’g’riligini tasdiqlaydi.
Endi Fermi taqsimotining yoyilish sohasidagi elektronlar sonini hisoblaymiz. Yoyilish sohasidagi elektronlar sonini n_eff effektiv elektronlar soni deymiz.
Tashqi ta’sir ostida shu elektronlargina o’zining holatini o’zgartiradi. Shuning uchun effektiv elektronlargina - ni va elektr o’tkazuvchanlikni tashkil etadi. n_eff-ni quyidagi mulohazalar asosida topish mumkin. _eff-energiyali bo’lgan holatda elektronning bo’lish ehtimoli taqsimot fnksiyasiga proporsional. Shu holatning to’la emaslik ehtimolligi (1-W_F) ga teng.
Bir holatda faqat spinlari antiparallel bo’lgan elektronlargina bo’lishi mumkinligi tufayli, W_F(1-W_F) ko’paytma energiyasi  bo’lgan bitta elektron bo’lib unga spini antiparallel bo’lgan elektronning bu holatda bo’lmaslik ehtimolligini beradi. Boshqacha qilib aytganda, W_F(1-W_F) – bu energiyasi  bo’lgan holatda faqat bitta elektron bo’lish ehtimolligini beradi. Bunday holatlarning to’la soni, ya’ni toq tashuvchi elektronlarning to’la soni:
(10.14)

Kuchli aynigan gazda ₀>>k₀T va bunday gaz uchun:

;

->>k₀T ligida (10.14) - dagi integral ostidagi funksiya eksponensial ravishda kamaya boradi. Shuning uchun,  energiya qiymatigacha integrallash o’rniga ~ qiymatigacha integral chegarasini olish mumkin.

U holda:

Bundagi eksponensial had tez kamaya borganligi sababli ^1/2 ni integral ostidan chiqarib uning qiymatini yuqori chegara qiymati bilan almashtirish mumkin:

(10.15)
Yoki oldingi natijadan foydalansak:


(10.16)
Shunday qilib, n_eff< (elektronlarning to’la sonidan juda kichik ekan).
(10.17)

(10.17) – ga asosan elektronli gazning xususiyatini quyidagicha xarakterlash mumkin:

Elektronli gazda o’z holatini o’zgartirishi va tashqaridan berilgan energiyani qabul qilishi mumkin bo’lgan n_eff-ta effektiv zarra mavjud. Bu effektiv zarralarning har biri klassik xususiyatga ega va ularning har biriga issiqlik sig’imining odatdagi qiymati to’g’ri keladi.