1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

t₁ va (t₂-t₁) yetarli darajada kattaligi to’g’risidagi farazimizga asosan, (t₂-t₁) vaqtda o’tilgan yo’l t₁ – vaqtda o’tilgan yo’lga bog’liq bo’lmaydi, ya’ni x(t₁) va [x(t₂)-x(t₁)] o’tilgan yo’llar bir-biriga statistik bog’liq bo’lmaydi. Shuning uchun:

Zarraning musbat yoki manfiy qiymatiga siljishi teng ehtimolli bo’lganligi uchun va (3.4) quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

(3.5)

(3.5) munosabati ixtiyoriy t₁ va t₂ qiymatlari uchun to’g’ridir. t₂-vaqtni belgilab olib t₁-ni esa ixtiyoriy ravishda o’zgartiraylik va (3.5) ni t₁ bo’yicha differensiallaymiz:

(3.6)


funksiyaning argument bo’yicha hosilasi.
(3.6) dan ko’rinib turibdiki, t₁ va (t₂-t₁) bir-biriga bog’liq bo’lmagan argumentlar bo’yicha olingan va funksiyalar bir-biriga teng. Bu xulosa shu vaqtda to’g’riki, agar bu funksiyalarning har biri doimiy songa teng bo’lsa. Shuning uchun

Bundan:
(3.7)


Bu yerda: D - Broun zarrasining diffuziya koeffisiyenti.
(3.7) – munosabati bevosita eksperimentda kuzatilishi mumkin. Eksperiment o’rtacha kvadratik siljishning shu siljish uchun ketgan vaqtga proporsionalligini ko’rsatadi. Bunday eksperiment orqali porporsionallik koeffisiyenti D – ni aniqlash mumkin.
(3.7) dan nazariya va eksperimentni tezliklar orqali taqqoslash noqulayligini ko’rsatish mumkin:


(3.8)
ya’ni tezlik siljish vaqtining funksiyasi bo’ladi va bo’lganda bo’ladi. Bu hol bizni taajjublantirmasligi lozim. (3.7) formulasi hol uchun emas balki, t₁ va (t₂-t₁) vaqtlarning yetarli darajada katta qiymatlari uchun hosil qilingan.
Endi diffuziya koeffisiyenti D – ning qiymatini tajribada o’lchash mumkin bo’lgan fizik kattaliklar orqali ifodasini topishga kirishaylik. Buning uchun Broun zarrasiga tegishli bo’lgan harakat tenglamasidan foydalanamiz:


(3.9)

Bu yerda: X – tashqi ta’sir etuvchi kuchning x – o’qiga proyeksiyasi;

f (t) – atrofdagi molekulalarning tasodifiy xarakterga ega bo’lgan ta’sir kuchi;
- - yopishqoqlik kuchi (zarra harakati yo’nalishiga qarama-qarshi).
(3.9) dagi va hadlar zarraning chiziqli o’lchamiga va yuzasiga bog’liq, - inersiya kuchi esa zarra hajmiga bog’liq bo’lganligi tufayli kichik o’lchamli zarra uchun:


(3.10)

Xususiy holda tashqi kuch ta’siri ostida (3.10) ning o’rtachasi

(3.11)
chunki
(3.11) dagi kuch va tezlik orasidagi koeffisiyentga harakatchanlik deyiladi. Og’irlik kuchi maydonida Broun zarrasining yopishqoq suyuqlik ichida tushish (tezligini kuzatish) yo’li bilan U – harakatchanlikni eksperimentda aniqlash mumkin. Endi harakatchanlik U va diffuziya koeffisiyenti D orasidagi munosabatni topaylik. Buning uchun kvazielastik kuch deb (3.10) ning yechimini topamiz:


(3.12)
Bundan:
(3.13)

- tasodifiy kuchning vaqt uchun impulsini:

dF() = f() d
deb olamiz. U holda (3.13) ning o’ng tomonidagi integralli ifoda


(3.14)
Xuddi (3.7) ni hosil qilganimizdek fikr yuritsak, deb olish mumkin va .
Bu yerda A – suyuqlik xususiyatiga va temperaturasiga bog’liq bo’lgan kattalik. U holda:
(3.15)
(3.15) dagi A – ning qiymatini quyidagi ikkita xususiy hol orqali topishimiz mumkin:
1) Broun zarrasi ozod bo’lsin. Bu holga bo’lgan (3.15) - ning ifodasi to’g’ri keladi:
(3.16)
(3.15) ning o’ng tomonidagi aniqsizlikni ochgach (3.16) - ni hosil qildik. (3.16) ni (3.7) bilan taqqoslab:
(3.17)
hosil qilamiz.
2) Ozod bo’lmagan Broun zarrasi uchun . Bu holda ga to’g’ri keluvchi (3.15) – formuladan:

Lekin cheksiz katta vaqt davomida zarra statistik muvozanat holatiga keladi va uning o’rtacha potensial energiyasi bo’ladi. Bu ikkala keyingi munosabatdan: va bo’ladi.
Buni (3.17) ga tadbiq etamiz: yoki
(3.18)
(3.18) - ga Eynshteyn formulasi deyiladi va u D - diffuziya koeffisiyenti bilan u - harakatchanlik orasidagi bog’liqlikni anglatadi.
Oxirgi munosabatdan ko’rinib turibdiki D va u – larning o’zaro bog’liqligi faqat muhitning xarakteristikasi bo’lib, muhitga ta’sir etuvchi kuchga va konkret harakat ko’rinishiga bog’liq emas.
Diffuziya koeffisiyentining muhit temperaturasiga bog’liqligini ko’raylik. Buning uchun Stoks formulasidan foydalanamiz, unga asosan yopishqoq muhitda r radiusli sharchaning ishqalanish kuchi: ( -yopishqoqlik koeffisiyenti).
U holda (3.9) formuladagi ishqalanish koeffisiyenti:

(3.18) ga asosan:

Ko’rinib turibdiki, diffuziya koeffisiyenti zarra radiusiga teskari proporsional, uning temperaturaga bog’liqligi esa T/η - munosabati orqali berilgan. η - yopishqoqlik koeffisiyentining temperaturaga bog’liqligi turlicha suyuqliklar uchun turlicha qiymatga ega va, umumiy holda temperaturaga bog’liqligi murakkab ko’rinishga ega.