11-amaliy: Xususiy yarim o’tkazgichlarda Fermi sathini hisoblash. Fermi−Dirak taqsimoti

11-amaliy: Xususiy yarim o’tkazgichlarda Fermi sathini hisoblash.
Fermi−Dirak taqsimoti
Fermi−Dirak taqsimoti bu−spinga ega bo’lgan zarrachalar (elektron, kovak) uchun ishlatiladi. Bu taqsimot yarim o’tkazgichlarda elektronlarning (kovaklarning) energetik sathlar bo’yicha taqsimotini aniqlash bilan birga, har qanday yarim o’tkazgichlarda Fermi sathini aniqlash hamda Fermi sathi va yarim o’tkazgichlarning asosiy xossalari o’rtasida bog’lanishni ko’rsatadi. Taqsimotni ko’rishdan oldin, umuman Fermi sathi nima degan savolga javob beraylik. Fermi sathi bu – metallarda T=0K bo’lganda elektronlar bilan band bo’lgan oxirgi energetik sathdir. Bundan kelib chiqadiki, Fermi sathi birligi energiya bilan o’lchanar ekan. Demak Fermi sathidan yuqorida yotgan sathlarda elektronlar yo’q, pastkidagi sathlar elektron bilan to’lgan.
Metallarda erkin elektronlar konsentratsiyasi undagi 1sm^-3 atomlar soniga teng. Masalan, Au ni oladigan bo’lsak unda 1sm^-3 da 5·10²² erkin elektron mavjud. Endi bu elektronlar energetik sathlar bo’yicha qanday joylashgan. Buni bilish uchun oldin Pauli prinsipini hisobga olish kerak. Bu prinsipga asosan har qandan energetik sathlarda maksimum qarama- qarshi spinga ega bo’lgan 2 ta elektron joylashishi mumkin. Agar metallarda elektron konsentratsiyasi n=5·10²²sm^-3 bo’ladigan bo’lsa, bu elektronlar joylashishi uchun, Pauli prinsipiga asosan 2,5·10²² energetik sathlar kerak bo’ladi. Metallarda erkin elektronlar joylashgan eng pastki sath- o’tkazuvchanlik zonasining boshlanishidan to Fermi sathigacha bo’lgan energiya 5÷10 eV atrofida bo’ladi. Biz bunday o’tkazuvchanlik zonasidagi elektron sathlar orasidagi energiyani topsak ∆E=10/2,5·10²²=4·10^-22 eV ga teng. Bu shunday kichik energiyaki, shuning uchun metallarda o’tkazuvchanlik zonasida elektron sathlar uzliksiz joylashgan deb qabul qilingan. Ammo yarim o’tkazgichlarda erkin elektronlar soni metallarga nisbatan 10¹²÷10¹⁴ marta kam bo’lganligi uchun, ularda Fermi sath tushunchasi va elektronlar taqsimoti boshqacha bo’ladi.
Fermi-Dirak taqsimoti quyidagi formula orqali ifodalanadi.

Bu yerda f− berilgan temperaturada (T) va Fermi sathi (F) aniq qiymatga ega bo’lgan holatda har qanday energetik sath − E ning elektronlar bilan band bo’lgan ehtimollikni ko’rsatadi. Berilgan energetik sathning kovaklar bilan band bo’lish ehtimolligi:

Bu yerda g − ajralish koeffsiyenti deb ataladi. Bu koeffsiyent donor energetik sathlar uchun 1/2 ga, akseptor energetik sathlar uchun 2 ga teng. g ning fizik ma’nosi bu− donor kirishma atomlarini ionlash uchun, faqat aniq spinga ega elektronni ozod qilish kerak, ammo uni yana neytral holatga kelishi uchun unga 2 xil spinga ega bo’lgan elektronni xohlaganini olish mumkin. Demak g − ionlash va atomni neytrallash uchun kerak bo’lgan elektron spinlarning nisbatini ko’rsatadi.
Yarim o’tkazgichlarda Fermi sathini qanday aniqlash mumkinligini ko’rsatishdan oldin, yarim o’tkazgich o’tkazuvchanlik sohasidagi elektronlar konsentratsiyasini aniqlab ko’raylik. Buning uchun yarim o’tkazgich o’tkazuvchanlik sohasidagi elektronlar joylashishi mumkin bo’lgan sathlar zichligi degan tushunchani kiritamiz. Albatta o’tkazuvchanlik zonasi parabola shaklida bo’lganligi uchun N_C − qiymati energiya N(E) ga bog’liq bo’ladi. Endi yarim o’tkazgich o’tkazuvchanlik sohasida mavjud elektronlar konsentratsiyasi quyidagicha aniqlanadi:

Bu yerda E_co−o’tkazuvchanlik sohasining eng quyi energiyasiga mos energetik sath, E_n−esa o’tkazuvchanlik sohasining eng yuqori energiyaga mos keladigan energetik sath. Yarim o’tkazgichda erkin elektronlar konsentratsiyasi o’ta kam bo’lganligi va o’tkazuvchanlik sohasi sathidagi energetik sathlar, umuman band bo’lmaganligi

Uchun E_co ning qiymati hamma vaqt F dan ancha katta bo’ladi. U holda o’tkazuvchanlik zonasidagi elektronlar konsentratsiyasi quyidagiga teng bo’ladi:

xuddi shunday valent sohadagi kovaklar konsentratsiyasi

Bunda:
, , (7)

N_V,N_C – valent va o’tkazuvchanlik sohalaridagi energetik holatlar zichligi.