1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

9.11.128.Termostat ichida joylashgan tizim uchun taqsimot funksiyasi Mikrokanonik taqsimotdan foydalanishda bir qator matematik qiyinchiliklarga duch kelish mumkin. Bundan tashqari, tizimni adiabatik izolyasiyalangan deb olish mikrokanonik taqsimotdan foydalanishni chegaralab qo’yadi, chunki bunday real tizimlarni hosil qilish ancha mushkuldir. Umuman izolyasiyalangan tizimlar fizika uchun unchalik ahamiyatga ega emasdir.




3-chizma. a-termostat; v-termostat ichida
joylashgan tekshiriluvchi tizim.
Amalda izolyasiyalanmagan, lekin o’ziga nisbatan juda katta tizim (termostat) bilan muvozanat holatida bo’lgan va uning ichida joylashgan tizimni tekshirish ancha qulaydir. Termostat bu adiabatik izolyasiyalangan tizim demakdir. Termostat ichida joylashgan tizim uchun taqsimot funksiyasini topamiz (3-chizma). Muhimi shundan iboratki, bu holda taqsimot funksiyasi uchun energiya E~E+dE oralig’i bilan chegaralanmagan va u ixtiyoriy qiymatga ega bo’lishi mumkin. Quyidagi shartlar bajariladigan hol uchun tekshiriluvchi tizimning (3-chizmadagi "v"ning) taqsimot funksiyasini keltirib chiqaramiz:
1. Butun yaxlit tizim adiabatik izolyasiyalangan va uning uchun mikrokanonik taqsimot qo’llaniladi.
2. Termostat energiyasi tekshiriluvchi tizim energiyasiga nisbatan juda katta.
3. Termostat va tekshiriluvchi tizimning o’zaro ta’sir energiyasi tekshiriluvchi tizim energiyasiga nisbatan juda kichik.
4. Termostat va tekshiriuvchi tizim o’zaro bir-biriga statistik bog’liq bo’lmagan tizimlar.
Tekshiriluvchi tizim o’z navbatida makroskopik bo’lmog’i lozim. Shu holdagina bu tizimning xususiy energiyasiga nisbatan termostat bilan o’zaro ta’sir energiyasini kichik deb hisoblab, uni hisobga olmaslik mumkin. Tekshiriluvchi tizimning Gamilton funksiyasi H₁(q,p) va termostatning Gamilton funsiyasi esa H₂(q,p) bo’lsin. Ikkala tizim energiyalarining yig’indisini doimiy deb hisoblaymiz.
Shunday qilib, butun izotermik tizimning to’la energiyasini saqlanadi deb hisoblab, ikki tizim energiyalari yig’indisi shaklida yozish mumkin:
const = H(q,p)= H₁(q,p) + H₂(q,p) (2.1)

Agar W(H(q,p)) taqsimot funksiyasi desak, (I.3.7) ehtimoliyatlarni ko’paytirish teoremasiga asosan:

(2.2)

ifodani hosil qilamiz. Dastlab, bu ifodaning logarifmasini olamiz:

(2.3)

Hosil bo’lgan so’nggi ifodani differensiallaymiz:

yoki

(2.4)


dH₁ va dH₂ lar bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda nolga aylanishi mumkin . Gamilton funksiyalarining bu xususiyatidan foydalanib, (2.4) dan quyidagini hosil qilamiz:


(2.5)

Ma’lumki, turlicha argumentli funksiyalarning birinchi tartibli hosilalari doimiy qiymatga ega bo’lsalar ular o’zaro bir-biriga teng bo’ladi. Shuning uchun termostatda joylashgan tekshiriluvchi tizimga tegishli bo’lgan ifodani (2.5) - ni hisobga olgan holda integrallab

(2.6)

ifodasini hosil qilamiz. Bu yerda - integrallash doimiysi.

Bizni faqat 3-chizmadagi v-tizim, ya’ni termostatda joylashgan tizim qiziqtirganligi tufayli quyida Gamilton funksiyasi va ehtimoliyat zichligini indekssiz yozamiz.(2.6) dan:


W(q,p)=exp( H(q,p)+) (2.7)

Bu yerda <0 bo’lmog’i lozim, aks holda (1.3) normallashtirish sharti bajarilmaydi va integral tarqaluvchi bo’ladi. Odatda α va β doimiyliklar o’rniga quyidagi ko’rinishdagi doimiyliklarni qabul qiladilar:

(2.8)

Bu yangi va F doimiyliklar energiya o’lchov birligiga ega. - statistik temperatura va F - ozod energiya deyiladi. (2.8) - ni hisobga olgan holda (2.7) – ni quyidagicha ko’rinishda yozish mumkin:

(2.9)

(2.9) - ko’rinishdagi statistik taqsimotga kanonik taqsimot deyiladi. Bu ham mikrokanonik taqsimot kabi statistik ansamblning ayrim tizimlari koordinata va impulslari dG elementi ichida bo’lish ehtimoliyatini beradi. Biroq, mikrokanonik taqsimotda tizim energiyasi belgilangan H(q,p)=E=const qiymatga, (2.9) kanonik taqsimotda esa energiya ixtiyoriy qiymatga ega bo’lishi mumkin. So’nggi hol matematik jihatdan ancha qulaylik tug’diradi, lekin ikkala taqsimot ham N ^-1/2 gacha aniqlik bilan bir xil natijaga olib keladi. (N-tizimdagi zarralar soni). Normallashtirish shartiga asosan:

Bu ifoda tizimning mumkin bo’lgan barcha holatlaridan birortasida bo’lish ehtimoliyati demakdir. Bundan:

(2.10)

Bu yerda Z - statistik integral yoki holat integrali deb ataladi va statistik fizikada muhim rol o’ynaydi. Holat integrali, integral tizimning barcha mikroholatlari bo’yicha olinganligi tufayli, uning ichki holatini xarakterlaydi.(2.10)-ga asosan ozod energiya va holat integrali orasida quyidagicha bog’lanish mavjud:

(2.11)

(2.10) dan foydalanib (2.9) kanonik taqsimotni:

(2.12)

ko’pinishda ham yozish mumkin.

Agar tizim N ta aynan bir xil zarralardan tashkil topgan bo’lsa, zarralarning turlicha o’rni almashtirishlari tizimni yangi mikroholatga olib kelmaydi. Shuning uchun aynan bir xil zarralardan tashkil topgan tizimni ifodalashda ularning tulicha o’rin almashtirishga tegishli bo’lgan barcha konfigurasiyali nuqtalaridan holi bo’lmog’imiz lozim. N ta zarradan tashkil topgan tizim uchun N! (!-belgisi faktorial demakdir) marta bunday o’rin almashtirish mumkin bo’lganligi tufayli, aynan bir xil bo’lgan zarralar tizimining konfigurasiyali muhitini N! marta kamaytirish mumkin.
Bu aytganlarimiz to’g’ridan-to’g’ri tizim ichki holatini xarakterlovchi Z holat integraliga tegishlidir. Bundan tashqari, Z holat integrali statistik fizikada o’lchovsiz holda keng qo’llaniladi. (2.10) - ni o’lchovsiz qilmoq uchun dG=(dq)(dp) ni h^S ga bo’lamiz. Bu yerda h ta’sir (energiya ko’paytirilgan vaqt) o’lchov birligiga ega bo’lgan doimiy kattalik, s esa erkinlik darajasining soni. Shunday qilib, (2.10) - o’rniga statistik integralni


(2.13)

ko’rinishda ifodalaymiz. U holda, mos ravishda, kanonik taqsimotni (2.12) o’rniga

(2.14)

ko’rinishda ifodalash lozimdir. (2.13) va (2.14) formulalaridagi (N!h^S)^-1

ko’paytma klassik va kvant statistik fizika natijalarini muvofiqlashtirish uchun kiritildi.