1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

8.Gibbsning mikrokanonik taqsimoti.
Makrotizimlar muvozanatli holati statistik nazariyasi asosini Gibbsning statistik taqsimoti tashkil etadi. Tizimning tashqi muhit bilan aloqasiga qarab statistik taqsimot turlicha (mikrokanonik, kanonik, katta kanonik taqsimotlar) ko’rinishga ega bo’lishi mumkin. Statistik fizikaning asosiy vazifasi molekulalar tushunchasi asosida tegishli taqsimot funksiyasidan foydalanib, tizimga taalluqli bo’lgan turlicha makro parametrlarning o’rtacha qiymatini va shu tizimning kichik qismlariga tegishli bo’lgan parametrlar fluktuasiyasini hisoblab berishdir.
F(q,p) fizik kattaligi, agar tizim dastlab muvozanatsiz holatda bo’lsa, vaqt o’tishi bilan o’zgaradi: chunki uning dinamik holati vaqtga bog’liq ravishda o’zgaradi va konfigurasiyali nuqta G muhitda Gamiltonning (I.1.1) harakat tenglamalariga binoan konfigurasiyali trayektoriya chizadi. Natijada, tizim muvozanat holatiga keladi va F(q,p) o’zining o’rtacha qiymatiga intiladi. Uning vaqt bo’yicha o’rtacha qiymatini

(1.1)

deb olish mumkin. (1.1) dan foydalanib, ni hisoblab bo’lmaydi, chunki, undagi p_i(t) va q_i(t) larning vaqtga bog’liqligini bilish mumkin emas.

Statistik fizikada bu qiyinchilikdan qutilish uchun F ning vaqt bo’yicha o’rtachasini hisoblash o’rniga uning statistik ansambl bo’yicha o’rtachasi hisoblaniladi. (I.4.2) ga asosan taqsimot funksiyasiga ega bo’lgan, berilgan statistik ansambl uchun F(q,p) ning o’rtacha qiymati:

bo’ladi. Bunda W(q,p)=(q,p)/N statistik ansambldagi tasodifiy tanlab olingan tizim koordinata va impulslari dG=(dq)·(dp) - hajm ichida bo’lish ehtimoliyati. Ushbu taqsimot funksiyasi normallashtirilgan bo’lib, (I.1.4) ga asosan:

(1.3)

Shunday qilib, statistik fizikada deb qabul qilingan va bunga ergodik gipoteza deyiladi. Endi masala shundan iboratki, statistik ansambl shunday tanlab olinishi lozimki, u bo’yicha (1.2) asosida topilgan F(q,p) ning o’rtacha qiymati tajriba natijasiga muvofiq kelsin.

Liuvill teoremasi makrotizimlar holatining vaqt bo’yicha evolyusiya (o’zgarish) qonunlarini o’rganishda o’ta muhim rol o’ynaydi va bu masalani batafsil o’rganishga fizik kinetika bo’limini bayon etganda qaytamiz. Statistik fizikada biz dastlab tizimning muvozanatli (shu jumladan, stasionar) holatlarini o’rganamiz. Bunda G-muhitning har bir nuqtasida taqsimot funksiyasi doimiy (/t =0) bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda, trayektoriya bo’ylab taqsimot funksiyasi o’zgarmaydi.
Shunday qilib, (q,p) – taqsimot funksiyasi harakat integrali bo’lib xizmat qiladi. Ko’pchilik fizik tizimlar uchun yettita bir-biriga bog’liq bo’lmagan additiv harakat integrallari mavjud. Bular E-energiya, - tizim impulsining uchta komponentasi va -impuls momentining uchta proyeksiyasi. Kursimiz davomida biz shunday sanoq tizimlarida ish olib boramizki, ularga nisbatan jism yaxlitligiga ilgarilanma harakatda bo’lmasin, ya’ni va aylanmasin, ya’ni . Bunday holda (q,p) – taqsimot funksiyasi faqat energiya funksiyasi bo’ladi deb qarashimiz mumkin.
Juda ko’p N - molekulalar sonidan tashkil topgan V - hajmda joylashgan klassik tizimni tekshiraylik. Tizimimizni izolyasiyalangan yoki uning energiyasi harakat integrali, ya’ni doimiy saqlanadigan yopiq deb qaraymiz. Aslida laboratoriya sharoitida haqiqiy izolyasiyalangan tizimni hosil qilib bo’lmaydi. Lekin, agar tizimimiz tashqi muhit bilan o’zaro ta’siri yetarli darajada kichik bo’lsa va tizimimiz energiyasi taqriban doimiy saqlansa, bunda tizimni izolyasiyalangan deb qarash mumkin. Liuvill teoremasiga asoslanib, izolyasiyalangan tizim uchun statistik taqsimot ko’rinishini hosil qilish mumkin. Agar tizim izolyasiyalangan (adiabatik izolyasiyalangan) bo’lib muvozanat holatida bo’lsa, uning energiyasi doimiy bo’ladi:


H(q, p) = E = const (1.4)

Bu geometrik nuqtai nazardan konfigurasiyali muhit uchun (2s-I) o’lchamli giperyuza tenglamasini anglatadi (s-erkinlik darajasining soni). Vaqt o’tishi bilan tizimdagi zarralarning q -koordinata va p -impulslari o’zgaradi va konfigurasiyali nuqta siljib konfigurasiyali trayektoriya chizadi. (1.4)-ga asoslanib izolyasiyalangan tizimda konfigurasiyali trayektoriya butunlay shu doimiy energiyali giperyuzada yotishini qayd qilish mumkin. Bundan tashqari, yetarli darajada katta vaqt ichida bu konfigurasiyali nuqta giperyuzaning barcha nuqtalaridan o’tishi lozim.

Ma’lumki, Liuvill teoremasiga binoan konfigurasiyali nuqtalar zichligi konfigurasiyali trayektoriya bo’yicha doimiy, binobarin u doimiy energiyali gizeryuzada ham, doimiy bo’lishi lozim. Real holatlarda izolyasiyalangan tizim energiyasi

oraliqda bo’ladi.

Shuning uchun Gibbs konfigurasiyali nuqtalar zichligini


( 1.5)

deb oladi. Bitta tizim o’rniga statistik ansamblni tekshirganimizda ham, agar u izolyasiyalangan bo’lsa, (1.5) bajariladi. (1.5) ni umumiy holda quyidagicha yozish mumkin:

W(H) = D · δ(E - H(q,p)) (1.6)

bu yerda: D=const va u normallashtirish sharti orqali topiladi;

δ - Dirakning delta-funksiyasi.
(1.5) yoki unga ekvivalent bo’lgan (1.6) ko’rinishdagi mikrokanonik taqsimot konfigurasiyali muhitning teng kattalikdagi hajmlarining teng ehtimolligi gipotezasiga asoslangan. Bu postulatga binoan, termodinamik muvozanat holatidagi makrotizim teng ehtimoliyat bilan kuzatilishi mumkin bo’lgan ixtiyoriy holatda bo’lishi mumkin.
(1.6) - ni (1.3)- ga tadbiq etib doimiy D- ni topamiz:


(1.7)

Bu integralni hisoblashdan oldin E=const bo’lgan giperyuza ichiga to’g’ri keladigan konfigurasiyali hajmni aniqlaylik.

va tizim statistik vaznini:

(1.8)

deb qabul qilamiz.

(1.7) - ni dastlab barcha lar bo’yicha cheksiz bir - biriga yaqin bo’lgan

H(q,p)=E va H(q,p)=E+dE

giperyuzalar oralig’iga to’g’ri keluvchi muhit bo’yicha integrallaymiz. Bu integral qiymati (1.8)- ga binoan g(E)d(E) - hajmga teng bo’ladi. Shunday qilib:

dE bo’yicha integrallash vaqtida shuni e’tiborga olmoq lozimki, δ(E-H) nolga teng bo’ladi, agar H=E bo’lsa va integralda H - ning E - ga cheksiz yaqin elementlari muhimdir. U holda:


va

Shunday qilib, (1.6) - mikrokanonik taqsimot:

(1.9)

ko’rinishga ega bo’ladi.