Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish

Bo`laklab integrallash
Faraz qilaylik, u(x) va v(x) - x ning differensiallanuvchi funksiyalari bo`lsin. Bu funksiyalar ko`paytmasining differensiallarini topamiz.
d(u^.v)=vdu+udv
bundan
udv=d(uv)-vdu (1)

1. 
   ning ikkala tomonini integrallab, quyidagini hosil qilamiz.
   

yoki
(2)

Bu formula bo`laklab integrallash formulasi deyiladi.

Bunda integrallarning ikki turini ajratib, ko`rsatish mumkin. Birinchi turga R<sub>n</sub>(x) ko`phadning ko`rsatkichli yoki trigonometrik funksiyaga ko`paytmasini o`z ichiga olgan integrallar kiradi. Bunda u orqali R<sub>n</sub>(x) ko`phad belgilanadi, qolgan hamma ifoda esa dv orqali belgilanadi.
Ikkinchi turga R_n(x) ko`phadning logarifmik yoki teskari trigonometrik funksiyaga ko`paytmasi qatnashgan integrallar kiradi. Bu holda dv bilan R_n(x)dx ifoda belgilanadi, qolgan hamma ifoda esa u orqali belgilanadi.
1-Misol : integralni hisoblang.
Yechish: Integral birinchi turga tegishli, shuning uchun quyidagicha belgilash kiritamiz.
u=x ; dv=e^-x dx
du=dx; v= =q-e^-x
( v ni topishda C o`zgarmas son yozilmaydi, uni oxirgi natijada yozish kerak).

Bo`laklab integrallash qoidasi bir necha marta qo`llanilishi mumkin.
2-Misol: integralni hisoblang.
Yechish:

Ba`zi holda shunday integrallar uchraydiki, bunda bo`laklab integrallash formulasini takroran qo`llash natijasida dastlabki integral hosil bo`ladi. Bu holda hosil qilingan tenglamani dastlabki integralga nisbatan yechish kerak.
3-Misol : integralni hisoblang.
Yechish:

Mustaqil ish uchun misollar: Integralni hisoblang

1)
2)

Bo`laklab intеgrallash usuli diffеrеntsial hisobning ikkita funktsiya ko`paytmasi diffеrеntsiali formulasiga asoslangan.

Ma`lumki, bundan Oxirgi tеnglikni intеgrallab,
natijaga ega bo`lamiz. Shunday qilib, (1) formulani hosil qildik. (1) formulaga bo`laklab intеgrallash formulasi dеyiladi.
Bu formula yordamida bеrilgan intеgraldan ikkinchi intеgralga o`tiladi. Dеmak, bo`laklab intеgrallashni qo`llash natijasida hosil bo`lgan ikkinchi intеgral, bеrilgan intеgralga nisbatan soddaroq yoki jadval intеgrali bo`lgandagina bu usulni qo`llash maqsadga muvofiqdir. Bu maqsadga intеgral ostidagi ifodani va ko`paytuvchilarga qulay bo`laklab olish natijasida erishish mukmin. Bеrilgan intеgral ostidagi ifodaning bir qismini va qolgan qismini dеb olgandan kеyin (1) formuladan foydalanish uchun va larni aniqlash kеrak bo`ladi. ni topish uchun ning diffеrеntsiali topilib, ni topish uchun esa ifodani intеgralaymiz, bunda intеgral ixtiyoriy o`zgarmas C ga bog`liq bo`lib, uning istalgan bir qiymatini xususiy holda ni olish mumkin.
Shunday qilib, intеgral ostidagi ifodaning bir qismini dеb olishda u diffеrеntsiallash bilan soddalashadigan, qolgan qismi bo`lib, qiyinchiliksiz intеgrallanadigan bo`lishi kеrak.