1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

15. Maksvell-Bolsman taqsimoti

Zarralari bir xil turdagi atomlardan tashkil topgan tizimni tekshiramiz (geliy, neon, argon, metall bug’i va sh.k.). Tizimdagi zarralar soni N ta bo’lsin va ularning har biri klassik mexanika qonunlariga bo’ysunsin. Ma’lumki, bunday tizim agar u termodinamik muvozanat holatida bo’lsa va termostatda joylashgan bo’lsa, ehtimoliyat zichligi bo’lmish (II.2.12) Gibbsning kanonik taqsimoti bilan tavsiflanadi:

(2.1)

Bunday tizim Gamilton funksiyasi:

, (2.2)

bu yerda - i- nchi zarraning tashqi maydon potensial energiyasi (4.1-§ dagi kabi idish devorlari maydonining ta’siri ham hisobga olingan). Gamilton funsiyasi (2.2) ko’rinishga ega bo’lgan hol uchun N ta zarraning dG da bo’lish ehtimoliyati Dekart koordinata tizimida

(2.3)

ifodasi bilan tavsiflanadi. (2.3)-dagi holat integrali quyidagicha ifodalanadi:

(2.3^/)

Bizni tizimdagi birorta tanlab olingan zarraning (masalan, i -nchi raqamli zarraning) d-da bo’lishi ehtimoliyati qiziqtirsin. Boshqacha qilib aytganda, i-nchi zarraning koordinatalari va impulsining proyeksiyalari x_i ~ x_i +d x_i, y_i ~ y_i +d y_i, z_i ~ z_i +d z_i, oraliqda bo’lib, qolgan barcha (N-1) ta zarraning koordinata va impulslari qabul qilishi mumkin bo’lgan ixtiyoriy qiymatga ega bo’lish ehtimoliyatini bilish talab etilsin. Buning uchun (2.3) - ni i -nchi zarradan tashqari (N-I) ta zarraning koordinata va impulslari bo’yicha integrallaymiz va natijada,

(2.4)

ifodasini hosil qilamiz .

Ma’lumki, ((1.7) ga qaralsin):


(2.5)

(2.4) dan tekshiriluvchi zarraning da bo’lish ehtimoliyatining zichligi

(2.6)

ekanligi kelib chiqadi. Hosil qilingan (2.6) taqsimotga Maksvell-Bolsman taqsimoti deyiladi. Bu yerda:

(2.7)
belgilash qabul qilindi. Maksvell-Bolsman taqsimotini faqat koordinatalarga va faqat impuls proyeksiyalariga bog’liq bo’lgan ikkita ko’paytuvchidan tashkil topgan taqsimotlarga ajratish mumkin, ya’ni
Demak,
(2.8)


(2.9)

Maksvell-Bolsman taqsimotini (2.8) va (2.9) taqsimotlar ko’paytmasi ko’rinishida yozish fizik jihatdan muhitda zarraning egallagan o’rni uning harakat holatiga bog’liq bo’lmaganligidadir.

(2.8) formulasini 1860 yil Maksvell hosil qilgan va unga Maksvell taqsimoti deyiladi, (2.9) formulasini 1968 yil Bolsman hosil qilgan va unga Bolsman taqsimoti deyiladi.