1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

49. Boze-Eynshteyn va Fermi-Dirak taqsimotlari

Zarralarning kvant xususiyati bo’lgan aynan o’xshashlik prinsipini hisobga olgan holda ularning kvant holatlar bo’yicha taqsimot funksiyasini hisoblaymiz. Boze-Eynshteyn va Fermi-Dirak taqsimotlarini aynan bir xil zarralar (elektron, fonon, foton va shu kabilar) to’plamidan tashkil topgan ideal gaz uchun keltirib chiqaramiz va bu taqsimotlar xususiyatlarini tekshiramiz.

Taqsimot funksiyasini hisoblash uchun zarralar soni o’zgaruvchi bo’lgan tizim (ochiq tizim)ga Gibbsning katta kanonik taqsimotini tadbiq etamiz. Buning uchun zarralarning aynan o’xshashlik prinsipini hisobga olgan holda, taqsimot funksiyasida zarralarning o’rin almashtirishini hisobga oluvchi ko’paytuvchisi bo’lmaydi. Demak, kvant statistikasi uchun energetik tasvirda katta kanonik taqsimotni


(4.1)
ko’rinishda olishimiz mumkin.
- bu E_Ni energiyali i-nchi kvant holatda N-ta zarrali tizimning bo’lish ehtimoliyati zichligi.
Bizni n_k ta zarraning (n_k

(4.2)

(4.3)

(4.2) va (4.3) ifodalarda yig’indi zarralarning barcha kvant holatlari bo’yicha olingan. Har bir kvant holat uning kvant soni – bosh kvant son, magnit kvant son va spin kvant sonlarining berilishi bilan to’la xarakterlanadi.

So’nggi (4.2) va (4.3) ifodalarni hisobga olgan holda i-chi kvant holatiga to’g’ri keluvchi zarralar soni quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

(4.4)

tizim holati n_i butun sonlar orqali aniqlanadi. Shuning uchun kvant holatlar bo’yicha olingan yig’indi barcha n_i lar bo’yicha olingan yig’indi bilan almashtirish mumkinligini (4.4) da hisobga oldik. Yoki (4.4) ni:

(4.4a)
ko’rinishida ham yozish mumkin.
Ma’lumki, katta kanonik taqsimotning normallashtirish sharti
(4.5)
edi. Bundan
.

Hosil bo’lgan bu ifodani (4.4a) ga tadbiq etamiz. U holda i-kvant holatga to’g’ri keladigan o’rtacha zarralar soni quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

(4.6)

Taqsimot funksiyasining natijaviy ko’rinishini hosil qilish uchun (4.6) ifodasidagi yig’indilarni hisoblash lozim. Bu yig’indini hisoblashda zarralarning ikki turini bir-biridan farq qilish lozim. Elementar zarralarning bir turi Pauli prinsipiga bo’ysunadi. Ikkinchi turi esa bu prinsipga bo’ysunmaydi. Pauli prinsipiga binoan bir kvant holatda spini butun bo’lmagan faqat bitta elementar zarra joylashishi mumkin (elektron, μ-mezon, nuklon). Bunday zarralar to’plami antisimmetrik to’lqin funksiyasi bilan ifodalanishini biz yuqorida ko’rib o’tgan edik. Shuning uchun yig’indini olish qoidasiga qarab biz yuqorida ikki xil taqsimotni hosil qilamiz. Bu esa o’xshash bo’lgan zarralar to’plamining makroskopik xususiyatlari turlicha bo’lishini ko’rsatadi. Demak, hisoblashning aynan shu qismida Fermi-Dirak va Boze-Eynshteyn taqsimotlarining farqi namoyon bo’ladi.

Fermi-Dirak statistikasiga belgilangan i-nchi kvant holatida yo bitta zarra yoki umuman zarra bo’lmaydi va n_i ning qiymati nolga yoki birga teng bo’ladi. Shuning uchun fermionlardan tashkil topgan tizimlarda

bo’ladi. Bu ifodani (4.6) ga tadbiq etib, quyidagi ko’rinishdagi Fermi-Dirak taqsimotini hosil qilamiz:

(4.7)

Boze-Eynshteyn statistikasiga tegishli bo’lgan hol uchun esa (4.6)dagi yig’indini hisoblash sal murakkabroqdir. Bu holda har bir kvant holatda ixtiyoriy sondagi zarralar bo’lishi mumkin, ya’ni n_i=0,1,2,3,…,N. Biz N ni ∞ lik bilan almashtiramiz. Chunki bu zarralarni bir kvant holatda bo’lishi ehtimolligi nihoyatda kichik. Bu holda (4.6) dagi yig’indi quyidagi formula orqali hisoblanadi. Agar x<1 bo’lsa, quyidagi yig’indi cheksiz kamayib boruvchi geometrik proressiyani tashkil etadi va:

(4.8)
bo’ladi.
Bizning holimizda . Bunga asosan (4.6) dagi yig’indi energiyaning ixtiyoriy qiymatida, va hatto, ε_k=0 bo’lganda ham yaqinlashuvchi xarakterga ega bo’lganligi uchun (4.8) tenglikdan foydalanishimiz mumkin, agar:
, ya’ni μ<0 (4.9)
bo’lsa. Natijada (4.9) ni hisobga olgan holda (4.8) ni (4.6) ga tadbiq etib, Boze-Eynshteyn taqsimoti uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(4.10)

Shunday qilib, kvant xarakterga ega bo’lgan ideal gaz uchun taqsimot funksiyalari:

(4.11)

Bu yerda «+» ishora Fermi-Dirak va «-» ishorasi esa Boze-Eynshteyn taqsimotlariga ta’lluqlidir.