1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

47. Termodinamik kattaliklarni hisoblash
Atomlari asosiy holatda yotgan bir atomli kvant ideal gazlar
termodinamik kattaliklarini hisoblashni ko'rayLk.
Termodinamik kattaliklarni hisoblash III bob (3.39) da keltirilgan formulalar asosida amalga oshiramiz. Ideal gaz ichki
energiyasi (5.5) ga asosan
E = kT2 ^ = l N k T , (5 6)
issiqlik sig‘imi

Cy = 7;Nk.	(5.7)
Gaz erkin energiyasini hisoblashda (5.5) ifoda va Stirling formulasi Nl = N n (2ttN)1/2 exp(-iV) ni hisobga olsak, u holda
F = -k T ln Z = -N k T ln eV 2-кткТ I N U2 J	(5.8)
■ (	\3/2 "

bo'ladi. Ideal gaz bosimi esa
.

(dF \	NkT
p Vav = - ы 7 = —	■

Ushbu tenglama bizga juda yaxshi tanish bo'lgan holat tenglamasidir. Bu tenglama ilgari tajriba natijalari asosida yozilgan
edi. Bu yerda uni toza nazariy yo'l bilan hosil qildik. Ideal gaz
entropiyasini (5.8) ga asosan
5 = _ ( ^ ) = Nk ln — + Cv ln kT + - Nk + Nkj (5.10)
\3T/ v N 2
3 N
171
NkT
yoki V = ----- bilan almashtirish natijasida
P
S = Cp \ n k T -N k \ n p + ^ Nkj
(27Г771 \ ~ kimyoviy doimiy
deb yuritiladi. Bu yerda (5.10) dan foydalanib, gazlar aralashmasi uchun entropiya o'zgarishini va Gibbs paradoksini ko'rsatish mumkin (Gibbs parodoksiga qarang). Gibbs termodinamik
potensiali uchun ф = F + PV = F + NkT ifodadan quyidagi tenglikni olamiz:
ф = - 1 NkT InkT + NkT In p - NkTj.
Gaz kimyoviy potensiali esa fj, = Ф/JV dan quyidagi ko‘rinishni oladi:
= kT In лг/ h2 ]3/2
v \2тгткт) (5.11)
Misol sifatida bir atomli ultrarelyativistik gaz uchun holat
funksiyasini va termodinamik kattaliklarni hisoblashni ko‘rib
chiqamiz. Bu misolda holat funksiyasi uchun aniq ifodani topish
mumkin. Relativistik zarraning energiyasi e =
ifoda bilan aniqlanadi. Ultrarelyativistik holda pc » me2 bo‘lganligi uchun e ^ pc bo'ladi. Ultrarelativistik atomlardan tashkil
topgan gazning holat funksiyasi
Z = — = —

N] N\ Ushbu ifodadagi integral oson hisoblanadi. Natijada

(5.12)

Ч в " Ш Г (513)
Bu yerda N\ ni hisoblashda Stirling formulasidan foydalandik.
172
Endi holat funksiyasi (5.13) yordamida ultrarelativistik gaz
uchun termodinamik kattaliklarni hisoblaymiz.
Gaz erkin energiyasi
F = -k T In Z = -k T N In , (5.14)
N
entropiyasi
S = - ( — ) = k N \ n ^ ^ - + 3Nk, (5-15)
\3t ) v N
ichki energiyasi

E = F + TS = 3NkT,	(5.16)
ifodalar orqali aniqlanadi. F ~ doimiy kattalik. Ichki energiya
(5.16)dan ultrarelativistik gaz issiqlik sig‘imini topamiz:
Cy =	= 3Nk = 2C ;r.	(5.17)

\ЭТJy
Demak, ultrarelativistik gaz issiqlik sig'imi norelativistik gaz
issiqlik sig'imidan ikki marta katta ekan.