1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

5. Kvant va klassik taqsimotlarini taqqoslashtirish

Fermi-Dirak va Boze-Eynshteyn taqsimotlari (4.11) uchun:

(5.1)
tengsizligi bajarilsa, bunday taqsimotlar maxrajidagi eksponensial had «1» soniga nisbatan juda katta bo’ladi. Agar bunday hol uchun maxrajdagi «1» sonini hisobga olmasak, kvant taqsimotlari klassik statistikasidagi Maksvell-Bolsman taqsimotini beradi.
(5.2)

Bir atomli ideal klassik gaz uchun kimyoviy potensialni hisoblasak,

(5.3)
bo’ladi. Bu yerda:
gaz zarralari konsentrasiyasi,
F - tizimning ozod energiyasi.
Bundan
(5.4)

bo’ladi, ya’ni n·h³ aniqlik bilan Maksvell taqsimotining normallashtirish doimiysiga muvofiq keladi.

Shuning uchun,
(5.5)

tengsizligi bajarilganda klassik statistika kuchga ega bo’ladi.

Klassik fizika nuqtai nazariga asoslangan Maksvell taqsimotini keltirib chiqarishda gaz zarralari individualligi saqlanadi (aynan o’xshash emas) deb hisoblanadi. Boze va Fermi statistikalari esa zarralarning aynan o’xshashligi prinsipiga asoslangandir. Bundan tashqari Fermi statistikasi Pauli prinsipiga ham bo’ysunadi.
Shunday qilib, (5.5) tengsizligidan ko’rinib turibdiki, Boze va Fermi taqsimotlari yetarli darajada yuqori temperaturada Maksvell taqsimotiga o’tadi. Past temperaturalarda esa klassik va kvant statistikasi taqsimotlari bir-biridan juda katta farq kildi. Belgilangan T uchun bu funksiyalar quyidagi (9-chizma) ko’rinishiga ega bo’ladi.
Chizmadagi egri chiziqlarning barchasi abssissa o’qiga eksponensial yaqinlashadi. Koordinata boshida (energiyaning kichik qiymatlarida) esa Fermi egri chizig’i deyarli gorizontal bo’lib, Boze egri chizig’i esa Maksvell taqsimotini anglatuvchi egri chiziqdan yuqoriga ko’tariladi.

9–chizma. Kvant va klassik
taqsimot funksiyalarining
shartli grafigi


Temperatura absolyut nol bo’lganda bu egri chiziqdan deformasiyalanishini kuzatish e’tiborga sazovordir. Bu holda Boze egri chizig’i butunlay ordinata o’qiga tortiladi. Bu esa o’z navbatida barcha zarralarning eng pastki energiyasi nol bo’lgan holatga (asosiy energetik holat) o’tishga intilishini ko’rsatadi. Fermi egri chizig’i esa to’g’ri burchakli chiziqqa aylanadi: uning gorizontal qismi abssissa o’qidan bir soniga farq qiladi. (W_f=1 bo’ladi, energiyaning μ dan kichik barcha qiymatlarida agar T=0 bo’lsa). Energiyaning ma’lum bir kritik qiymatidan boshlab esa W_f sakrab nolga aylanadi. Fermi egri chizig’ining bunday xususiyati zarralarning T=0 bo’lgan eng pastki energetik holatda Pauli prinsipiga binoan spinlari qarama-qarshi yo’nalgan ikkita zarra bo’lishi mumkin xolos. Qolgan zarralar esa tartib bilan asosiy energetik holatga yaqin bo’lgan uyg’ongan holatlarda joylashgan bo’ladi. Temperaturaning ko’tarilishi bilan energiyasi μ ga yaqin bo’lgan zarralarning bir qismi energiyasi ε>μ bo’lgan energetik holatlarga o’tadi. Fermi energetik sathidan ancha yuqori sathlarda zarraning bo’lish ehtimolligi juda kichik. Shuning uchun energiyaning bunday qiymatlarida egri chiziq eksponensial kamayadi.