1. Sonli qatorlar Funktsional qatorlar. Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi va oralig`i

4.2. Kuchli qatorlar: asosiy tushunchalar, Abel teoremasi
Funktsional qator deb ataladigan maxsus holatni ko'rib chiqing quvvat seriyasi  , qayerda
 .
Ta'rif 3. Quvvat seriyasi shaklning funksional qatori deyiladi,
qayerda  - chaqirilgan doimiy raqamlar qator koeffitsientlari.
Quvvat qatori ortib borayotgan darajalarda joylashgan "cheksiz polinom" dir  ... Har qanday raqamlar seriyasi  hisoblanadi
uchun quvvat seriyasining maxsus holati   .
Quvvat seriyasining maxsus holatini ko'rib chiqing   :
... Keling, qanday shaklda ekanligini bilib olaylik
berilgan qatorning yaqinlashuv mintaqasi   .
1-teorema (Abel teoremasi)... 1) Agar kuch seriyasi bo'lsa  nuqtada birlashadi  , keyin u har qanday vaqtda mutlaqo birlashadi NS buning uchun tengsizlik   .
2) Agar darajalar qatori da farq qilsa  , keyin u har birida farqlanadi NS, buning uchun   .
Isbot... 1) Gipotezaga ko'ra, darajalar qatori nuqtada yaqinlashadi   ,
ya'ni sonlar qatori yaqinlashadi
(1)
va yaqinlashuvning zarur mezoni bo'yicha uning umumiy atamasi 0 ga intiladi, ya'ni.  ... Shuning uchun bunday raqam mavjud  seriyaning barcha a'zolari ushbu raqam bilan cheklangan:
 .
Endi har qanday narsani ko'rib chiqing NS, buning uchun  , va mutlaq qiymatlar qatorini tuzing:.
Keling, ushbu seriyani boshqa shaklda yozamiz: beri  , keyin (2).
Tengsizlikdan
olamiz, ya'ni. qator
qatorning mos a'zolaridan kattaroq bo'lgan a'zolardan iborat (2). Qator  maxraji bilan yaqinlashuvchi geometrik qatordir  , bundan tashqari  , chunki  ... Demak, (2) qator uchun yaqinlashadi  ... Shunday qilib, quvvat seriyasi  mutlaqo birlashadi.
2) Seriyaga ruxsat bering  da farqlanadi  , boshqa so'zlar bilan aytganda,
raqamlar qatori farqlanadi  ... Keling, buni har qanday kishi uchun isbotlaylik NS ( ) qator farqlanadi. Dalil qarama-qarshilik bilan. Ba'zilar uchun ruxsat bering
belgilangan (  ) qator yaqinlashadi, keyin hamma uchun yaqinlashadi  (ushbu teoremaning birinchi qismiga qarang), xususan, uchun  , bu 1-teoremaning 2) shartiga zid. Teorema isbotlangan.
Natija... Abel teoremasi darajalar qatorining yaqinlashish nuqtasining joylashishini aniqlashga imkon beradi. Agar nuqta  quvvat qatorining yaqinlashish nuqtasi, keyin interval  yaqinlashish nuqtalari bilan to'ldirilgan; agar ajralish nuqtasi nuqta bo'lsa  , keyin
cheksiz intervallar  ajralish nuqtalari bilan to'ldirilgan (1-rasm).

Guruch. 1. Qatlamlarning yaqinlashish va divergensiya oraliqlari
Bunday raqam mavjudligini ko'rsatish mumkin  bu hamma uchun
quvvat seriyasi  mutlaq yaqinlashadi va uchun  - farqlanadi. Faraz qilamizki, agar qator faqat bitta nuqtada 0 ga yaqinlashsa, u holda  , va agar ketma-ketlik hamma uchun yaqinlashsa  , keyin   .