1. Sonli qatorlar Funktsional qatorlar. Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi va oralig`i

! Eslatma har qanday yaqinlashuvchi musbat qatorlar ham mutlaqo yaqinlashuvchidir.
Shunday qilib, quvvat qatorlari yaqinlashadi va mutlaq, topilgan intervalning ikkala uchida.
Javob: Tekshirilayotgan kuchlar qatorining yaqinlashish mintaqasi:
Hayot huquqiga ega va javobning boshqa dizayni: Agar ketma-ket birlashadi
Ba'zan muammo bayonida yaqinlashish radiusini ko'rsatish talab qilinadi. Shubhasiz, ko'rib chiqilgan misolda.
2-misol
Darajali qatorning yaqinlashish viloyatini toping
Yechim: qatorning yaqinlashish intervali topiladi yordamida d'Alembert belgisi (lekin atribut bo'yicha emas! - funktsional seriyalar uchun bunday atribut yo'q):

Seriya birlashadi

Chapga ketishimiz kerak faqat, shuning uchun biz tengsizlikning ikkala tomonini 3 ga ko'paytiramiz:
- Qator almashib turadi.
–  - qator a'zolari mutlaq qiymatda kamayadi. Seriyaning har bir keyingi atamasi avvalgisiga qaraganda mutlaq qiymatdan kamroq:  , shuning uchun pasayish monotonikdir.
Xulosa: qatorlar yaqinlashadi.
Keling, uni konvergentsiya xarakteri uchun ko'rib chiqaylik:

Keling, bu qatorni ajralib chiqadigan qator bilan taqqoslaylik.
Biz cheklovchi taqqoslash mezonidan foydalanamiz:

Nolga teng bo'lmagan chekli son olinadi, ya'ni qator qator bilan birga ajralib chiqadi.
Shunday qilib, qator shartli ravishda yaqinlashadi.
2) Qachon  - farqlanadi (isbotlanganidek).
Javob: Tekshirilayotgan kuchlar qatorining yaqinlashish mintaqasi:. At, qator shartli ravishda yaqinlashadi.
Ko'rib chiqilayotgan misolda darajalar qatorining yaqinlashish sohasi yarim oraliq, intervalning barcha nuqtalarida esa darajalar qatori. mutlaqo birlashadi, va shu nuqtada, ma'lum bo'lishicha - shartli ravishda.
3-misol
Darajalar qatorining yaqinlashuv oralig‘ini toping va oraliq uchlarida uning yaqinlashuvini o‘rganing.
Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol.
Keling, kamdan-kam uchraydigan, ammo sodir bo'ladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
4-misol
Qatorning yaqinlashish mintaqasini toping: 
Yechim: d'Alembert testidan foydalanib, biz ushbu qatorning yaqinlashuv oralig'ini topamiz:


(1) Biz seriyaning keyingi a'zosining oldingisiga nisbatini tuzamiz.
(2) To'rt qavatli fraktsiyadan qutulish.
(3) Kublar va darajali harakatlar qoidasiga ko'ra, bitta daraja ostida umumlashtiriladi. Numeratorda biz darajani oqilona kengaytiramiz, ya'ni. keyingi bosqichda kasrni kamaytiradigan tarzda kengaytiring. Biz faktoriallarni batafsil tavsiflaymiz.
(4) Kub ostidagi sonni maxraj a'zolariga bo'linib, buni ko'rsating. Bir qismda biz qisqartirilishi mumkin bo'lgan hamma narsani kamaytiramiz. Faktor chegara belgisidan tashqarida chiqariladi, uni olib tashlash mumkin, chunki unda "dinamik" o'zgaruvchi "en" ga bog'liq hech narsa yo'q. Iltimos, modul belgisi chizilmaganligini unutmang - chunki u har qanday "x" uchun salbiy bo'lmagan qiymatlarni oladi.
Limitda nolga erishiladi, ya'ni yakuniy javob berilishi mumkin:
Javob: Seriya birlashadi
Ammo dastlab "dahshatli to'ldirish" bilan bu qatorni hal qilish qiyin bo'lib tuyuldi. Nol yoki chegaradagi cheksizlik deyarli sovg'adir, chunki yechim sezilarli darajada kamayadi!
5-misol
Qatorning yaqinlashish viloyatini toping 
Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Ehtiyot bo'ling ;-) Qo'llanma oxirida to'liq yechim javobi.
Texnikalardan foydalanish nuqtai nazaridan yangilik elementini o'z ichiga olgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
6-misol
Qatorning yaqinlashuv oralig‘ini toping va topilgan intervalning uchlarida uning yaqinlashuvini o‘rganing. 
Yechim: Quvvat seriyasining umumiy atamasi belgilarning almashinishini ta'minlovchi omilni o'z ichiga oladi. Yechim algoritmi to'liq saqlanib qolgan, ammo chegarani tuzishda biz ushbu omilni e'tiborsiz qoldiramiz (yozmaymiz), chunki modul barcha "minuslarni" yo'q qiladi.
D'Alembert testi yordamida qatorning yaqinlashuv oralig'ini topamiz:


Biz standart tengsizlikni tuzamiz:
Seriya birlashadi