1 Приближенные вычисления. Соотношение между угловой и радиальной мерами измерения углов и длинами дуг

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть  независимые случайные величины, такие что . Обозначим  выборочное среднее этой выборки, а  её выборочную дисперсию. Тогда

.
31.Построение кривой плотности распределения вероятности. Получение вероятнейшего значения по МНК.
Кривые плотности распределения вероятности по закону нормального распределения (по закону Гаусса) Случайные погрешности, подчиняющиеся закону нормального распределения, характеризуются тем, что малые по величине погрешности встречаются чаще, чем большие; отрицательные и положительные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто. Кривая, изображающая плотность распределения вероятности по нормальному закону, определяется уравнением, где у — плотность распределения вероятности; а и σ — параметры распределения; х — аргумент функции плотности вероятности, т.е. случайная величина; — ∞ < х < ∞. При совпадении центра группирования с началом отсчета величины х, т. е. при переносе начала координат, уравнение кривой нормального распределения будет иметь вид. Кривая плотности вероятности нормального распределения симметрична относительно максимальной ординаты. Величина параметра а равна математическому ожиданию М (Х) случайной величины X: для дискретной величины где xi — возможное значение дискретной случайной величины; р (xi) —вероятность значения xi дискретной случайной величины; для непрерывных величин где Рх (х) — плотность вероятности непрерывной случайной величины X. Значение М (X) характеризует положение центра группирования случайных величин, около которого располагаются, например, размеры большинства деталей в партии. При отсутствии систематических погрешностей в результатах многократных измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях математическое ожидание можно рассматривать как наибольшее приближение к истинному значению измеряемой величины, т. е. к значению, свободному от ошибок измерения.

Приведение расхождений, обусловленных избыточными измерениями, в формальное соответствие называется уравниванием. Если такое уравнивание производится исходя из требования о том, чтобы полученные поправки к измеренным величинам удовлетворяли усло¬вию (минимизировался критерий) , то оно назы¬вается уравниванием по методу наименьших квадратов.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов

32.СКП одного измерения, среднее арифметическое результатов измерений и его СКП.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855 гг.) - немецкий математик и астроном предложил погрешность одного измерения определять по сред­ней квадратичной погрешности. Суть его предложения состоит в том, что каждая погрешность ряда возводится в квадрат, затем складываются все погрешности, полученная сумма делится на число измерений и извлекается квадратный корень. Полученную погрешность одного измерения Гаусс назвал средней квадратической погрешностью (СКП).


33.Обнаружение грубых погрешностей.
Грубая погрешность измерения - это явно ошибочные результаты измерений, сильно отличающиеся от ожидаемых, и целиком вытекающие из неправильного отсчета, производимого человеком при измерении.

Метод ​исключения грубых промахов по Q-критерию

Метод заключается в расчете величины Q:

Q = (x1 - x2) / R,

где x1 – возможный промах измерений

x2 – результат измерения, ближайший по значению к х1

R – размах варьирования, т.е. разность между наибольшим и наименьшим значениями.

Если Q < Qтаб – результат остается

Если Q > Qтаб – результат отбрасывается.
34.Обработка прямых неравно точных измерений. Погрешность функции измеренных величин.

Веса измерений. Неравноточными называют измерения, выполненные приборами различной точности, разным числом приемов, в различных условиях.

При неравноточных измерениях точность каждого результата измерений характеризуется своей среднеквадратической погрешностью. Наряду со средней квадратической погрешностью при обработке неравноточных измерений пользуются относительной характеристикой точности – весом измерения. Вес i-го измерения вычисляют по формуле

 (5.9)

где с – произвольная постоянная, назначаемая вычислителем, m_i – средняя квадратическая погрешность i-го измерения.

Так, имея ряд результатов измерений l₁, l₂, ..., l_n , со средними квадратическими погрешностями m₁ , m₂ , ..., m_n , определяют их веса:

p₁ = c / m₁² , p₂ = c / m₂² , ..., p_n = c / m_n².

Часто постоянную с для удобства дальнейших вычислений назначают так, чтобы веса p_i оказались целыми числами.

Рассмотрим смысл произвольной постоянной с. Предположим, что в результате фиксирования значения с вес j-го измерения стал равен 1, то есть p_j = c / m_j² = 1. Отсюда находим c = m_j². Следовательно, постоянная с есть квадрат средней квадратической погрешности m² такого измерения, вес которого принят за единицу (с = m²).

Теперь (5.9) можем записать так

. (5.10)

Кратко m называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

Вес арифметической средины. Рассмотрим вес арифметической средины равноточных измерений. Примем в формуле (5.8) за единицу вес одного измерения, то есть m = m, и запишем .

Тогда согласно (5.10) вес Р арифметической средины L будет равен

P =  = n. (5.11)

Вывод. Если за единицу веса принят вес одного измерения, то согласно (5.11) вес арифметической средины равен числу измерений.

Следствие. Если результат l измерения имеет вес р, то можем считать, что l является средним арифметическим из ризмерений с весом 1.

Общая арифметическая средина результатов неравноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных неравноточных измерений одной величины: l₁, l₂, …, l_n, выполненных с весами p₁, p₂, …, p_n.

Представим каждый из результатов l_i (i = 1, 2, …, n) как среднее из p_i результатов с весом 1. Получим такой ряд результатов равноточных измерений:

l₁ - результат p₁ измерений с весом 1,

l₂ - результат p₂ измерений с весом 1,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

l_n - результат p_n измерений с весом 1,

где общее число измерений с весом 1 равно p₁ + p₂ +¼+ p_n .

Нами составлен ряд результатов равноточных измерений, позволяющий найти окончательное значение измеряемой величины как среднее арифметическое из всех результатов измерений

. (5.12)

Значение, вычисляемое по формуле (5.12), называют общей арифметической срединой или весовым средним.

Оценки точности результатов неравноточных измерений. Приведем без вывода формулы характеристик точности, используемых при обработке прямых неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность m измерения, имеющего вес, равный единице:

- формула Гаусса: .

Формула применяется, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины.

- формула Бесселя:  ,

где v_i - поправки к результатам измерений:

  .

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

Обработка результатов неравноточных измерений. Математическая обработка ряда результатов прямых неравноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности.

1. Вычисление весового среднего (общей арифметической средины)

.

2. Вычисление поправок к результатам измерений:

 (i = 1, 2,…, n).

Контролем правильности вычислений служит равенство

3. Вычисление средней квадратической погрешности одного измерения по уклонениям от арифметической средины, используя формулу Бесселя для неравноточных измерений:

.

4. Вычисление средней квадратической погрешности весового среднего

.

35.Среднестатистические погрешности основных навигационных параметров (частная, повторяющаяся, полная)