1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

4.6.4. Funksiyaning differensiali
Aytaylik, funksiya kesmada differensiallanuvchi bo‘lsin. Shu funksiyaning kesmaga tegishli biror x nuqtasidagi hosilasi bo‘lsin, da nisbat ma'lum songa intiladi. Bundan ko‘rinadiki, nisbat hosiladan cheksiz kichik miqdorga farq qiladi, ya’ni ikkala tomonini ga ko‘paytirsak
(1)
Bunda, ga nisbatan birinchi tartibli cheksiz kichik miqdor, ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor, chunki

Demak, orttirma ikki qismdan iborat. Birinchisi bosh qismi, ko`paytma funksiyaning differensiali deyiladi va u bilan belgilanadi.
(2)
Bundan foydalanib yuqoridagi ifodani quyidagicha yozish mumkin.
(3)
Funksiyaning orttirmasi funksiya differensialidan ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdorga farq qiladi.
Agar bo‘lsa, u holda ko‘paytma ga nisbatan ham yuqori tartibli cheksiz kichik miqdordir.
(4)
Shuning uchun taqribiy hisoblarda deb olinadi.
Misol'>Misol. y=x³ funksiyaning differensiali va orttirmasi topilsin.
1) va qiymatlarda; 2) , qiymatlarida;
Yechish: 1)

2) agar bo‘lsa,


ni ga almashtirganda natija 0,301 ga farq qiladi. Hosilaga tegishli teoremalar va formulalar differensiallar uchun ham o‘z kuchini saqlaydi.
Misol.
Differensialning geometrik ma'nosi.
funksiya va unga xos egri chiziqni qaraylik. Egri chiziqni ixtiyoriy nuqtasini olib, unga shu nuqtada urinma o‘tkazaylik, urinmaning Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagini bilan belgilaymiz. ga orttirma beramiz, u holda bo‘ladi. 73-chizmada nuqta esa yoki dan: ; ; bo‘lganidan differensial ta'rifiga asosan . Shunday qilib . (73-chizma). 73- chizma
Bundan ko‘rinadiki, funksiyaning va ning berilgan qiymatlariga mos keluvchi differensiali egri chiziqqa x nuqtada o‘tkazilgan urinmaning ordinatasi orttirmasiga teng ekan.