1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

4.5.6. Murakkab funksiyaning hosilasi.

Aytaylik, y=F(u) murakkab funksiya bo‘lsin ya’ni y=F(u), yoki u - o‘zgaruvchi, oraliq argumenti deyiladi. y=F(u) va differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin.

Murakkab funksiyani differensiallash qoidasini keltirib chiqaramiz.
Teorema: Murakkab F(u) funksiyaning erkli o‘zgaruvchi x bo‘yicha hosilasi bu funksiyaning oraliq argumenti bo‘yicha hosilasining oraliq argumentining erkli o‘zgaruvchi x bo‘yicha hosilasiga ko‘paytmasiga teng, ya’ni

Misol: funksiyaning hosilasini toping.
Yechish: berilgan funksiyani murakkab funksiya deb qaraymiz ya’ni (1) formulaga asosan
;

4.5.7. Ba'zi bir elementar funksiyalarning hosilalari.

1) Logarifmik funksiyaning hosilasi.

1-Teorema: funksiyaning hosilasi ga teng ya’ni agar bo‘lsa, bo‘ladi.
Isboti: x ga ga orttirma beramiz, u holda y ham orttirma oladi; ya’ni

Tenglikning har ikkala tomonini ga bo‘lamiz.
bilan belgilaymiz.
bo‘lgani uchun, bo‘ladi. .
Agar y=lnx bo‘lsa bo‘ladi.
2) n butun va musbat bo‘lganda funksiyaning hosilasi.
2-Teorema: funksiyaning hosilasi (bunda n butun musbat)
ga teng, ya’ni bo‘lsa ga teng.
1)
2)
yoki
3)
4)
Demak, . Bu formulani n kasr va manfiy bo‘lgan holda ham to‘g‘riligini ko‘rsatish mumkin.
3) y=sinx , y=cosx funksiyaning hosilalari.
3-Teorema: sinx ning hosilasi cosx, ya’ni agar y=sinx bo‘lsa y'=cosx ga teng.
Isboti:
1)
2)
3)
4)
ammo bo‘lgani uchun .