Mavzu: cheksiz katta ketma-ketliklar va ularning xossalari

MAVZU: CHEKSIZ KATTA KETMA-KETLIKLAR VA ULARNING XOSSALARI

REJA:
1.Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.
2.Cheksiz katta ketma-ketlikning ta'rifi
3.Cheksiz kichik va katta hisoblar

Cheksiz kichik hisob- cheksiz kichik qiymatlar bilan bajariladigan hisoblar, bunda olingan natija cheksiz kichik qiymatlarning cheksiz yig'indisi sifatida qaraladi. Cheksiz kichik hisob - bu umumiy tushuncha zamonaviy oliy matematikaning asosini tashkil etuvchi differensial va integral hisoblar uchun. Cheksiz kichik miqdor tushunchasi chegara tushunchasi bilan chambarchas bog'liq.

Cheksiz kichik
Ketma-ketlik a n chaqirdi cheksiz kichik, agar. Masalan, sonlar ketma-ketligi cheksiz kichikdir.
Funktsiya chaqiriladi nuqtaga yaqin joyda cheksiz kichik x 0 agar  .
Funktsiya chaqiriladi cheksizlikda cheksiz kichik, agar  yoki  .
Shuningdek, infinitesimal funksiya va uning chegarasi o'rtasidagi farq, ya'ni agar  , keyin f(x) − a = α( x) , .
Cheksiz katta
Ketma-ketlik a n chaqirdi cheksiz katta, agar  .
Funktsiya chaqiriladi nuqtaga yaqin joyda cheksiz katta x 0 agar  .
Funktsiya chaqiriladi cheksizda cheksiz katta, agar  yoki  .
Barcha holatlarda tenglik huquqining cheksizligi ma'lum bir belgini (yoki "ortiqcha" yoki "minus") nazarda tutadi. Bu, masalan, funktsiya x gunoh x uchun cheksiz katta emas.
Cheksiz kichik va cheksiz kattalik xossalari
Cheksiz kichik miqdorlarni solishtirish
Cheksiz kichik qiymatlarni qanday solishtirasiz?
Cheksiz kichik miqdorlarning nisbati noaniqlik deb ataladigan narsani hosil qiladi.
Ta'riflar
Aytaylik, bizda bir xil a qiymati uchun cheksiz kichik qiymatlar mavjud ( x) va b ( x) (yoki ta'rif uchun muhim bo'lmagan, cheksiz kichik ketma-ketliklar).
Bunday chegaralarni hisoblash uchun L'Hôpital qoidasidan foydalanish qulay.
Taqqoslash misollari
Foydalanish O-belgilar, olingan natijalarni quyidagi shaklda yozish mumkin x 5 = o(x 3). Bunday holda, quyidagi yozuvlar haqiqiy hisoblanadi 2x 2 + 6x = O(x) va x = O(2x 2 + 6x).
Ekvivalent miqdorlar
Ta'rif
Agar, u holda cheksiz kichik miqdorlar a va b deyiladi ekvivalent ().
Shubhasiz, ekvivalent miqdorlar bir xil kichiklik tartibidagi cheksiz kichik miqdorlarning alohida holatidir.
Buning uchun quyidagi ekvivalentlik munosabatlari amal qiladi:,,  .
Teorema
Ikki cheksiz kichik miqdorning (nisbati) chegarasi, agar ulardan biri (yoki ikkalasi) ekvivalent miqdorga almashtirilsa, o'zgarmaydi..

Bu teorema chegaralarni topishda amaliy ahamiyatga ega (misolga qarang).

Foydalanish misoli
O'zgartirish sin 2x ekvivalent qiymat 2 x, olamiz 
Tarixiy eskiz
"Cheksiz kichik" tushunchasi ilgari muhokama qilingan antik davrlar bo'linmas atomlar tushunchasi bilan bog'liq, ammo klassik matematikaga kiritilmagan. U 16-asrda "bo'linmaslar usuli" paydo bo'lishi bilan yana jonlandi - o'rganilayotgan figurani cheksiz kichik qismlarga bo'lish.
17-asrda cheksiz kichik hisobni algebralash amalga oshirildi. Ular sifatida belgilana boshladi raqamli qiymatlar, ular har qanday chekli (noldan farqli) qiymatdan kichik va nolga teng emas. Tahlil san'ati cheksiz kichiklarni (differensiallarni) o'z ichiga olgan nisbatni tuzishdan va keyin uni integrallashdan iborat edi.
Qadimgi maktab matematiklari kontseptsiyani ochib berishgan cheksiz kichik qattiq tanqid. Mishel Roll yangi hisob-kitoblar " aql bovar qilmaydigan xatolar to'plami"; Volter istehzo bilan ta'kidladiki, bu hisob - bu borligini isbotlab bo'lmaydigan narsalarni hisoblash va aniq o'lchash san'ati. Hatto Gyuygens ham yuqori tartibli differentsiallarning ma'nosini tushunmaganligini tan oldi.
Taqdirning istehzosi sifatida, asrning o'rtalarida nostandart tahlilning paydo bo'lishini ko'rib chiqish mumkin, bu asl nuqtai nazar - haqiqiy cheksiz kichiklikning ham izchil ekanligini va tahlil uchun asos sifatida foydalanish mumkinligini isbotladi.
Shuningdek qarang
Wikimedia fondi. 2010 yil.
Boshqa lug'atlarda "Cheksiz katta" nima ekanligini ko'ring:
Y o'zgaruvchisi, X cheksiz kichik qiymatining o'zaro nisbati, ya'ni Y = 1 / X ... Katta ensiklopedik lug'at
O'zgaruvchi y, cheksiz kichik qiymatning o'zaro nisbati x, ya'ni y = 1 / x. * * * CHEKSIZ KATTA CHEKSIZ KATTA, Y o'zgaruvchisi, cheksiz kichik X ga teskari, ya'ni Y = 1 / X ... ensiklopedik lug'at
Matematikada ma'lum bir o'zgarish jarayonida bo'ladigan va yonib turadigan o'zgaruvchi mutlaq qiymat oldindan belgilangan har qanday raqamdan ko'proq. B.ning oʻqishi. miqdorlarni cheksiz kichiklarni o'rganishgacha kamaytirish mumkin (Qarang ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
Raqamli funktsiyaning ta'rifi. Funksiyalarni sozlash usullari.
R haqiqiy chiziqdagi D to'plam bo'lsin. Agar D ga tegishli bo'lgan har bir x yagona y = f (x) son bilan bog'langan bo'lsa, u holda f funktsiya berilgan deymiz.
Funktsiyalarni sozlash usullari:
1) jadvalli - chekli to'plamda aniqlangan funktsiyalar uchun.
2) analitik
3) grafik
2 va 3 - cheksiz to'plamda aniqlangan funktsiyalar uchun.
Teskari funksiya tushunchasi.
Agar y = f (x) funktsiyasi shunday bo'lsa, x argumentining turli qiymatlari mos keladi turli ma'nolar y funksiya bo'lsa, u holda x o'zgaruvchisi y o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin: x = g (y). g funksiya f ning teskarisi deyiladi va f ^ (- 1) bilan belgilanadi.
Murakkab funksiya tushunchasi.
Kompleks funktsiya-funktsiya, argumenti boshqa har qanday funktsiyadir.
f (x) va g (x) funksiyalar berilsin. Ulardan ikkita murakkab funksiya tuzamiz. f funktsiyani tashqi (asosiy) va g funksiyani ichki deb faraz qilamiz murakkab funktsiya u (x) = f (g (x)).
Ketma-ketlik chegarasini aniqlash.
a soni ketma-ketlikning chegarasi (xn) deb ataladi, agar har qanday musbat uchun n0 soni mavjud bo'lsa, undan boshlab barcha a'zolar a dan moduli e dan kichik bo'lsa (ya'ni, ular ning e-qo'shnisiga kiradi). nuqta a):
Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar chegaralarini hisoblash qoidalari.
1. Har bir yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta chegaraga ega. 2. Agar (x n) ketma-ketlikning barcha elementlari C ga (doimiy) teng bo'lsa, u holda ketma-ketlikning chegarasi (x n) ham C ga teng bo'ladi. 3.  ; 4.  ; 5.  .
Cheklangan ketma-ketlik ta'rifi.
Agar X = (x n) sonlar to'plami chegaralangan bo'lsa (x n) ketma-ketlik chegaralangan deb ataladi:.
Cheksiz kichik ketma-ketlikning ta'rifi.
Ketma-ket (x n) cheksiz kichik deb ataladi, agar har qanday (ixtiyoriy kichik)> 0 uchun n 0 soni shunday bo'lsa, har qanday n> n 0 uchun tengsizlik | x n |< .
Cheksiz katta ketma-ketlikning ta'rifi.
Agar biron-bir (ixtiyoriy katta) A> 0 soni uchun shunday n 0 soni bo'lsa, har qanday n> n 0 soni uchun | x n |> A tengsizlik qanoatlansa, xabar cheksiz katta deb ataladi.
Monoton ketma-ketliklarning ta'rifi.
Monoton xabarlar: 1) agar x n bo'lsa, ortib boradi Barcha n uchun x n +1, 4) barcha n uchun x n x n +1 bo'lsa, o'smaydi.
Funksiyaning nuqtadagi chegarasini aniqlash.
y = f (x) funktsiyasining x 0 nuqtasida (yoki xx 0 da) chegarasi a soni, agar argumentning oxirgi (xn) qiymatlari uchun x 0 ga yaqinlashsa (bu holda, barcha xnx 0), f-ii ning oxirgi (f (xn)) qiymatlari a chegarasiga yaqinlashadi.
Cheksiz kichik funktsiyaning ta'rifi.
F-Ia f (x) cheksiz kichik deb ataladi, agar x → A bo'lsa.
Cheksiz katta funktsiyaning ta'rifi.
F-Ia f (x) cheksiz katta deb ataladi, agar x → A bo'lsa.
Funktsiya y = f (x) chaqirdi cheksiz kichik da x → a yoki da x→ ∞ agar yoki, ya'ni. cheksiz kichik funktsiya Berilgan nuqtadagi chegarasi nolga teng funksiya.
Misollar.
1. Funktsiya f (x)=(x-1) 2 uchun cheksiz kichik x→ 1, chunki (rasmga qarang).
2. Funktsiya f (x)= tg x- cheksiz kichik da x→0.
3. f (x)= ln (1+ x) uchun cheksiz kichik x→0.
4. f (x) = 1/x- cheksiz kichik da x→∞.
Keling, quyidagi muhim aloqani o'rnatamiz:
Teorema. Agar funktsiya y = f (x) da vakili mumkin x → a doimiy sonning yig'indisi sifatida b va cheksiz kichik qiymat a (x): f (x) = b + a (x) keyin.
Aksincha, agar, keyin f (x) = b + a (x), qayerda a (x)- cheksiz kichik da x → a.
Isbot.
1. Gapning birinchi qismini isbotlaylik. Tenglikdan f (x) = b + a (x) kerak | f (x) - b | = | a |... Ammo beri a (x) Cheksiz kichik, u holda ixtiyoriy e uchun d - nuqta qo'shnisi bo'ladi. a, hamma bilan x qaysidan, qadriyatlar a (x) munosabatni qondirish |a (x) |< e. Keyin |f (x) - b |< e. Va bu shuni anglatadiki.
2. Agar, u holda har qanday e uchun >0 Barcha uchun X from some d - nuqtaning mahallasi a bo'ladi |f (x) - b |< e. Ammo belgilasak f (x) - b = a, keyin |a (x) |< e, bu shuni anglatadiki a- cheksiz kichik.
Cheksiz kichik funktsiyalarning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqing.
Teorema 1. Ikki, uch va umuman, har qanday chekli sonning algebraik yig'indisi cheksiz kichik funktsiyadir.
Isbot... Keling, ikkita atama uchun dalil keltiraylik. Mayli f (x) = a (x) + b (x) qayerda va. Biz buni ixtiyoriy kichik e uchun isbotlashimiz kerak > 0 topildi δ> 0 shunday x tengsizlikni qondirish | x - a |<δ , bajarildi |f (x) |< ε.
Shunday qilib, biz ixtiyoriy e sonini tuzatamiz > 0. Chunki teorema gipotezasi bilan a (x) Cheksiz kichik funktsiya bo'lsa, u holda d 1 mavjud > 0, qaysi uchun | x - a |< d 1 bizda bor |a (x) |< ε / 2. Xuddi shunday, beri b (x) Cheksiz kichik, u holda d 2 bo'ladi > 0, qaysi uchun | x - a |< d 2 bizda bor | b (x) |< ε / 2.
Keling, olamiz d = min ( d 1 , d 2 } Keyin, nuqta yaqinida a radius δ tengsizliklarning har biri |a (x) |< ε / 2 va | b (x) |< ε / 2. Shuning uchun, bu mahallada bo'ladi
| f (x) | = | a (x) + b (x)| ≤ |a (x) | + | b (x) |< ε /2 + ε /2= ε,
bular. |f (x) |< e, kerak bo'lganda.
Teorema 2. Cheksiz kichik funktsiyaning mahsuloti a (x) cheklangan funksiya uchun f (x) da x → a(yoki da x → ∞) cheksiz kichik funksiyadir.
Isbot... Funktsiyadan beri f (x) cheklangan, keyin raqam bor M Shunday qilib, barcha qadriyatlar uchun x nuqtaning qaysidir mahallasidan a | f (x) | ≤M. Bundan tashqari, beri a (x) uchun cheksiz kichik funktsiya x → a, keyin ixtiyoriy e uchun > 0 nuqtaning qo'shnisi bor a, unda tengsizlik |a (x) |< ε / M... Keyin bu kichikroq mahallalarda bizda bor | af |< ε / M= e. Va bu shuni anglatadiki af- cheksiz kichik. Bayram uchun x → ∞ dalil shunga o'xshash.
Tasdiqlangan teorema quyidagilarni nazarda tutadi:
Xulosa 1. Agar va bo'lsa, unda.
Xulosa 2. Agar c = keyin const.
Teorema 3. Cheksiz kichik funktsiya nisbati a (x) funktsiya uchun f (x), chegarasi nolga teng bo'lmagan, cheksiz kichik funktsiyadir.
Isbot... Mayli. Keyin 1 / f (x) mavjud cheklangan funksiya... Shuning uchun kasr cheksiz kichik funktsiya va cheklangan funktsiyaning mahsulotidir, ya'ni. funksiya cheksiz kichikdir.
Funktsiya chaqiriladi uchun cheksiz kichik
yoki da
, agar
yoki
.