1. Funksiyaning nuqtadagi limiti

4– М А Ъ Р У З А
Funksiyaning limiti va uning xossalari. Funksiyaning nuqtadagi limiti. Funksiyanong cheksizlikdagi limiti. Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi. Bir tomonlama limitlar. Cheksiz katta funksiyalar. Cheksiz kichik fuinksiyalar va ularning cheksiz katta funksiyalar bilan bog’liqligi. Cheksiz kichik funksiyalarning asosiy xossalari. Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalarning algebraik yig’iindisi. Limitlar haqida asosiy teorema.
1-ta’rif. Аgar. funksiya
Nuqtaning nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib ( nuqtaning o’zida аniqlanmagan bo’lishi mumkin) istalgan son uchun
shunday sон мавжуд bo’lsaki,
tengsizlikni qanoatlantiradigan
barcha nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, A chekli son
Funksiyaning limiti
va uning xossalari .
1.Funksiyaning nuqtadagi limiti.
funksiyanung nuqtadagi(yoki
dagi) limiti deb ataladi.
Agar son funksiyaning
Nuqtadagi limiti bolsa, bu quydagicha yoziladi:
yoki da
.
tengsizlikni nuqtaning
Atrofida yotadigan nuqtalar, teng-sizlikni esa А nuqtaning atrofida yotadigan lar qanoatlantiradi, ya’ni,
Demak, yuqoridagi ta’rif geometrik nuqtai nazardan quydagini anglatadi:
Agar istalgan son uchu shunday
Mavjud bo’lsaki, а dan masofasi dan ortiq bo’lmagan inervaldagi barcha х
lar uchun funksiyaning qiymatlari
intervalga tushsa, А son
funksiyaning dagi limiti bo’ladi (1-shakl).
1-misol. ekanini ta’rifdan
foydalanib isbitlang.
funksiyani nuqtaning
biror atrofida, masalan, (3;5) intervalda qaraylik. Ixtiyoriy ni оlamiz va
ni deb quydagicha o’zgartiramiz:
ya’ni ni hisobga olsak, ushbu tengsizlikni hosil qilamiz:
Bundan ko’rinib turibtiki, deb olsak, u holda tengsizlikni qanoatlan-tiradigan barcha uchun ushbu tengsizlik bajariladi:
Bundan 2 soni funksiyani
nuqtadagi limiti bo’lishi kelib kelib chiqadi.