1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

M asalan:

Funksiya hosilasi x=o nuqtada nolga teng bo‘ladi, ammo bu nuqtada funksiya maksimumga yoki minimumga ega emas (72-chizma).
Funksiya hosilasi mavjud bo‘lmagan nuqtalarda ham funksiya ekstremumga ega bo‘lishi mumkin.

72-chizma
Agar biror nuqtada hosila mavjud bo‘lmasa, shu nuqtada hosila uzilishini ko‘ramiz. Argumentning hosila nolga aylanadigan yoki uziladigan qiymatlari kritik yoki kritik qiymatlar deyiladi.
Har qanday kritik qiymatda funksiya maksimum yoki minimumga ega bo‘lavermasligi mumkin. Funksiyaning ekstremumini topish uchun, hamma kritik nuqtalar topiladi, so'ngra har bir kritik nuqtani ayrim tekshirib, u nuqtada funksiya maksimum yoki minimumga ega bo‘lishi yoki bo‘lmasligi aniqlanadi.

2-Teorema: (Ekstremum mavjudligini yetarli sharti).
f(x) funksiya kritik nuqta x₁ ni o‘z ichiga olgan bironta intervalda uzluksiz va shu intervalning hamma nuqtalarida differensiallanuvchi bo‘lsin. Agar shu nuqtaning chap tomonidan o‘ng tomoniga o'tishda hosilaning ishorasi musbatdan manfiyga o‘zgarsa funksiya x=x₁ nuqtada maksimumga ega bo‘ladi, ya’ni
agar bo‘lsa funksiya nuqtada maksimumga ega
agar bo‘lsa funksiya nuqtada minimumga ega bo‘ladi.
Agar funksiya hosilasi ishorasini o‘zgartirmasa u maksimumga ham minimumga ham ega bo‘lmaydi, u o‘sadi yoki kamayadi.
Differensiallanuvchi funksiyani birinchi hosila yordamida ekstremumga tekshirish.
1. Funksiyaning birinchi hosilasini topamiz. Ya’ni, ni topamiz.
2. Argument x ning kritik qiymatlarini topamiz. Buning uchun:
a) birinchi tartibli hosilani nolga tenglaymiz va haqiqiy ildizlarini topamiz.
b) x ning hosila uzilishiga duchor bo‘ladigan qiymatlarini topamiz.
3. Hosilaning kritik nuqtadan chapdagi va o‘ngdagi ishorasini tekshiramiz. Ikkita kritik nuqta orasidagi intervalda hosilaning ishorasi o‘zgarmaydi. Shunga ko‘ra , masalan: x₂ kritik nuqtaning chap va o‘ng tomonidagi hosila ishorasini tekshirish uchun, hosilaning va nuqtalardagi ishorasini aniqlash kerak.
4) Argumentning kritik qiymati x=x₁ da funksiyaning qiymatini hisoblaymiz.

kritik nuqta x1 dan o'tishda f'(x) hosilaning ishorasi				kritik nuqtaning xarakteri
x1	x=x1	x>x1
+ - + -	yoki uziluvchi	- + + -	maksimum nuqtasi minimum nuqtasi funksiya o‘sadi funksiya kamayadi