|
5.
Talabaga kerakli formulani uchta ma’lumotnomada bo‘lishi ehtimoli
mos ravishda 0,6; 0,7; 0,8 ga teng. Formula: a) faqat bitta ma’lumotnomada; b)
faqat ikkita ma’lumotnomada; c) uchchala ma’lumotnomada bo‘lishi ehtimolini
toping.
6.
Talaba fan bo‘yicha 25 ta savoldan 20 tasini biladi. Talabaning
o‘qituvchi taklif etgan uchta savolni bilishi ehtimolini toping.
2-laboratoriya ishi.
Bernulli, Puasson formulalari, Muavr-Laplasning lokal va integral
teoremalari.
Laboratoriya ishining maqsadi:
Har
xil taqsimot qonunlarini o’rganish.Muavr-
Laplasning lokal va integral teoremalarini qo’llashni o’rganish.
Metodik ko’rsatmalar
Agar bir nechta sinov o‘tkazilayotgan bo‘lib, har bir sinashda
A
hodisaning ro‘y
berishi ehtimoli boshqa sinov natijalariga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bunday
sinovlar
A
hodisaga nisbatan erkli sinovlar deyiladi.
Faraz qilaylik,
n
ta erkli takroriy sinovning har birida
A
hodisaning ro‘y
berish ehtimoli
p
, ro‘y bermaslik ehtimoli
q=1-p
bo‘lsin. Shu
n
ta tajribadan
A
hodisaning (qaysi tartibda bo‘lishidan qat’iy nazar) rosa
k
marta ro‘y berishi
ehtimoli
k
n
k
k
n
k
k
n
n
q
p
k
n
k
n
q
p
C
k
P
−
−
−
=
=
)!
(
!
!
)
(
Bernulli formulasi bilan hisoblanadi.
A
hodisaning o‘tkazilayotgan
n
ta erkli takroriy sinov davomida kamida
k
marta ro‘y berishi ehtimoli
)
(
...
)
1
(
)
(
n
P
k
P
k
P
n
n
n
+
+
+
+
,
ko‘pi bilan
k
marta ro‘y berishi ehtimoli esa
)
(
...
)
1
(
)
0
(
k
P
P
P
n
n
n
+
+
+
,
formulalar bilan hisoblanadi.
Agar
n
ta erkli sinashda hodisaning
0
k
marta ro‘y berishi ehtimoli
tajribaning boshqa mumkin bo‘lgan natijalari ehtimollaridan kichik bo‘lmasa, u
holda
0
k
soni eng ehtimolli son deb ataladi va u quiyadgi qo‘sh tengsizlik bilan
aniqlanadi:
p
np
k
q
np
+
−
0
.
Eng ehtimolli son (
0
k
) ushbu shartlarni qanoatlantiradi:
a)
agar
q
np
−
kasr son bo‘lsa, u holda bitta eng ehtimolli
0
k
son mavjud
bo‘ladi;
b)
agar
q
np
−
butun son bo‘lsa, u holda ikkita
0
k
va
1
0
+
k
eng
ehtimolli sonlar mavjud bo‘ladi;
c)
agar
np
butun son bo‘lsa, u holda eng ehtimolli son
np
k
=
0
bo‘ladi.
Faraz qilaylik,
n
ta erkli takroriy sinashning har birida
k
A
A
A
...,
,
,
2
1
hodisalarning
ro‘y berish ehtimollari mos ravishda
k
p
p
p
...,
,
,
2
1
(
1
...
2
1
=
+
+
+
k
p
p
p
) bo‘lsin.
Shu
n
ta tajribadan
k
A
A
A
...,
,
,
2
1
hodisalarning (qaysi tartibda bo‘lishidan qat‘iy
nazar) mos ravishda roppa-rosa
k
m
m
m
...,
,
,
2
1
(
n
m
m
m
k
=
+
+
+
...
2
1
) martaro‘y berishi
ehtimoli quyidagi polinomial formula bilan hisoblanadi.
k
m
k
m
m
k
k
p
p
p
m
m
m
n
m
m
m
P
...
!
!...
!
!
)
...,
,
,
(
2
1
2
1
2
1
2
1
=
Masalalar
1.
Har bir otilgan o‘qning nishonga tegish ehtimoli
p=2/3
. Otilgan 10 ta
o‘qdan 3 tasining nishonga tegish ehtimolini toping.
Yechish
.
n=10; k=3; p=
3
2
; q=
3
1
.
U holda Bernulli formulasiga asosan:
2.
Tanga 6 marta tashlandi. Gerbli tomon tushishlarining eng ehtimolli
sonini toping.
Yechish
. Berilgan masalaning shartlariga ko‘ra:
n=6, p=q=1/2
. U holda
gerbli tomon tushishlarining eng ehtimolli soni
Demak, eng ehtimolli son
0
k
=3
bo‘ladi.
Bernulli formulasini
n
ning katta qiymatlarida qo‘llash qiyin, chunki formula
katta sonlar ustida amallar bajarishni talab qiladi. Shuning uchun bizni
qiziqtirayotgan bu ehtimolni Bernulli formulasini qo‘llamasdan, aniq formuladan
unchalik ko‘p farq qilmaydigan boshqa bir taqribiy formula yordamida hisoblashga
harakat qilamiz.
1-teorema.
(Muavr- Laplasning lokal teoremasi). Agar har bir tajribada
A
hodisaning ro‘y berish ehtimoli
p
o‘zgarmas bo‘lib, nol va birdan farqli bo‘lsa, u
holda
n
ta tajribada
A
hodisaning rosa
k
marta ro‘y berish ehtimoli (
n
qancha katta
bo‘lsa, shuncha aniq)
−
npq
np
k
npq
k
P
n
1
)
(
7
3
3
10
10
3
1
3
2
)
3
(
=
C
P
3 .
2
1
6
0
=
=
=
np
k
ga teng. Bu yerda
( )
x
funksiya juft bo‘lib, funksiyaning
x
argumentining musbat
qiymatlariga mosqiymatlaridan tuzilgan jadvallar ehtimollar nazariyasiga oid
ko‘pgina adabiyotlarda keltirilgan.
x>4
da
( )
x
=0
deb olinadi.
Agar
n
ta tajribada hodisaning kamida
1
k
marta va ko‘pi bilan
2
k
marta
ro‘y berish ehtimoli
)
;
(
2
1
k
k
P
n
ni topish talab qilinsa, tajribalar soni katta
bo‘lganda, Muavr-Laplasning integral teoremasi qo‘llaniladi.
2- teorema.
(Muavr-Laplasning integral teoremasi). Har birida hodisaning
ro‘y berish ehtimoli
p (0
ga teng bo‘lgan
n
ta tajribada hodisaning
kamida
1
k
marta va ko‘pi bilan
2
k
marta ro‘y berish ehtimoli
ga teng. Bu yerda
ko‘rinishda bo‘lib, u Laplas funksiyasi deb ataladi. Bu funksiya toq funksiya
bo‘lib, uning qiymatlari jadvallashtirilgan va
x>5
da
F(x)=0,5
deb olinadi.
Eslatma.
Muavr-Laplasning taqribiy formulalaridan odatda
npq>9
bo‘lgan
hollarda foydalangan ma'qul. Agar tajribalar soni katta bo‘lib, har bir tajribada
hodisaning ro‘y berish ehtimolini
p
juda kichik bo‘lsa, u holda quyidagi
−
e
k
k
P
k
n
!
)
(
Puasson formulasidan foydalaniladi, bu yerda
k
hodisaning
n
ta erkli tajribada
ro‘y berishlari soni,
np
=
(hodisaning
n
ta erkli tajribada ro‘y berishlari
o‘rtacha soni).
2
2
2
1
)
(
x
e
x
−
=
−
−
−
npq
np
k
Ф
npq
np
k
Ф
k
k
P
n
1
2
2
1
)
;
(
dz
e
x
Ф
x
z
−
=
0
2
2
2
1
)
(
.
1.
Bitta o‘q uzilganda nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. 100 ta o‘q
uzilganda rosa 75 ta o‘qning nishonga tegish ehtimolini toping.
Yechish
.
n=100; k=75; p=0,8; q=0,2 .
U holda,
.
25
,
1
2
,
0
8
,
0
100
8
,
0
100
75
−
=
−
=
−
=
npq
np
k
x
1-
ilovadagi jadvaldan
1826
,
0
)
25
,
1
(
=
−
.
Demak,
.
04565
,
0
4
1826
,
0
)
75
(
100
=
=
P
2.
Agar biror hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,4 ga teng bo‘lsa, bu
hodisaning 100 ta tajribada:
a) rosa 50 marta ro‘y berish ehtimolini;
b) kami bilan 30 marta,ko‘pi bilan 45 marta ro‘y berish ehtimolini toping.
Yechish
. a) shartga ko‘ra:
n=100; p=0,4; q=0,6.
Tajribalar soni
n
katta
bo‘lganligi uchun, masalani lokal teoremaga ko‘ra yechamiz:
.
04
,
2
24
10
6
,
0
4
,
0
100
4
,
0
100
50
=
−
=
−
npq
np
k
(x) - funksiyaning qiymatlar jadvalidan
(2,04)=0,0498 ekanligini
topamiz.
Muavr-Laplasning local formulasidan foydalanib, izlanayotgan ehtimolni
topamiz:
.
0102
,
0
24
0498
,
0
)
04
,
2
(
6
,
0
4
,
0
100
1
)
50
(
100
=
=
b) Laplasning integral teoremasini qo‘llaymiz.
n=100;
1
k
=30;
2
k
=45;
p=0,4
va
q=0,6
ekanligidan
.
04
,
2
24
10
6
,
0
4
,
0
100
4
,
0
100
30
1
−
−
=
−
=
−
npq
np
k
.
02
,
1
24
5
6
,
0
4
,
0
100
4
,
0
100
45
2
=
−
=
−
npq
np
k
( )
Ф х
ning qiymatlar jadvalidan
( 2,04)
(2,04)
0,4793.
Ф
Ф
−
= −
= −
(1,02)
0,3461.
Ф
=
Topilganlarni formulaga qo‘yib, talab qilingan ehtimollikni topamiz.
100
(30;45)
(1,02)
( 2,04)
(1,02)
(2,04)
0,3461 0, 4793
0,8254.
Ф
Ф
Ф
Ф
−
−
=
+
=
=
+
=
Do'stlaringiz bilan baham: |
