|
1-ta’rif.
Ikkita
A
va
B
hodisalarning birgalikda ro‘y berish ehtimoli, bu
hodisalarning ehtimolliklari ko‘paytmasiga teng bo‘lsa, ya‘ni
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
AB
P
=
,
u holda ular bog‘liqmas(erkli)deyiladi.
3
,
0
10
3
)
(
2
5
2
3
=
=
=
C
C
A
P
05
,
0
100
5
)
(
=
=
A
W
9
,
0
20
18
)
(
=
=
A
W
2-ta’rif.
Bir nechta birgalikda bo‘lgan hodisalar ixtiyoriy guruhining
birgalikda ro‘y berish ehtimoli, bu hodisalar ehtimollarining ko‘paytmasiga teng
bo‘lsa, ya‘ni
1
2
1
2
(
...
)
(
) (
)... (
)
k
k
i
i
i
i
i
i
P A A
A
P A P A
P A
=
,
u holda ular to‘plamiy bog‘liqmas(erkli) deyiladi.
2-teorema.
Agar
( ) ( ) 0
P A P B
bo‘lsa,u holda ikkita hodisaning birgalikda
ro‘y berish ehtimoli, ulardan birining ro‘y berish ehtimolini ikkinchisining
birinchisi ro‘y berganligi sharti ostidagi shartli ehtimoliga ko‘paytmasiga aytiladi,
ya‘ni
(
)
( )
( )
( )
( )
A
B
P AB
P A P B
P B P A
=
=
.
Natija
. Bir nechta bog‘liq hodisalarning birgalikda ro‘y berish ehtimoli,
ulardan birining ehtimolini qolganlarining shartli ehtimollariga ko‘paytirilganiga
teng bo‘lib, har bir keyingi hodisaning shartli ehtimoli oldingi hamma hodisalar
birgalikda ro‘y berdi, degan faraz ostida hisoblanadi:
1
1
2
1
1
2
1
2
...
(
...
)
(
)
(
)...
(
)
n
n
A
A A
A
n
P A A
A
P A P
A
P
A
−
=
.
3-teorema.
Ikkita birgalikda bo‘lmagan hodisalardan kamida bittasining ro‘y
berish ehtimoli, bu hodisalarning ehtimollari yig‘indisidan ularning birgalikda ro‘y
berish ehtimolini ayrilganiga teng:
)
(
)
(
)
(
)
(
AB
P
B
P
A
P
B
A
P
−
+
=
+
.
Xususan,
A
va
B
hodisalar bog‘liq bo‘lsa,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
A
P
B
P
B
P
A
P
B
A
P
B
−
+
=
+
formuladan, aks holda
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
P
A
P
B
A
P
−
+
=
+
formuladan foydalaniladi.
4-teorema.
Birgalikda bog‘liq bo‘lmagan
n
A
A
A
,..,
,
2
1
hodisalaridan kamida
bittasining ro‘y berishidan iborat
A
hodisaning ehtimoli, 1dan
n
A
A
A
,...,
,
2
1
qarama-qarshi hodisalar ehtimollari ko‘pytmasining ayrilganiga teng, ya’ni
).
(
)...
(
)
(
1
)
(
2
1
n
A
P
A
P
A
P
A
P
−
=
6.Sehda bir necha stanok ishlaydi. Smena davomida bitta stanokni
ta’mirlash talab etilishi ehtimoli 0,2 ga teng, ikkita staokni ta’mirlash talab etilishi
ehtimoli 0,13 ga teng. Smena davomida ikkitadan ortiq stanokni ta’mirlash talab
etilishi ehtimoli esa 0,07 ga teng. Smena davomida stanoklarni ta’mirlash talab
etilishi ehtimolini toping.
Yechish
.Quyidagi hodisalarni qaraymiz.
A=
{smena davomida bitta stanokni ta’mirlash talab etiladi};
B=
{smena davomida ikkita stanokni ta’mirlash talab etiladi};
C=
{smena davomida ikkitadan ortiq stanokni ta’mirlash talab etiladi}.
A, B
va
C
hodisalar o‘zaro birgalikda emas. Bizni qiziqtiradigan hodisa:
)
(
C
B
A
+
+
– smena davomida hech bo‘lmaganda bitta stanokni ta’mirlash
zarur bo‘lishi hodisasining ehtimolini topamiz:
.
4
,
0
07
,
0
13
,
0
2
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
+
=
+
+
=
+
+
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
7.
Ikki ovchi bo‘riga qarata bittadan o‘q uzishdi. Birinchi ovchining bo‘riga
tegizish ehtimoli 0,7 ga, ikkinchisiniki esa 0,8 ga teng. Hech bo‘lmaganda bitta
o‘qning bo‘riga tegishi ehtimolini toping.
Yechish.A
- birinchi ovchining o‘qni bo‘riga tegizishi hodisasi,
B
- ikkinchi
ovchining o‘qni bo‘riga tegizishi hodisasi bo‘lsin. Ko‘rinib turibdiki,
A
va
B
hodisalar birgalikda bo‘lgan, ammo bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan hodisalar. U
holda
.
94
,
0
8
,
0
7
,
0
8
,
0
7
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
−
+
=
=
−
+
=
−
+
=
+
B
P
A
P
B
P
A
P
AB
P
B
P
A
P
B
A
P
Biror
A
hodisa hodisalarning to‘la guruhini tashkil etuvchiva juft-jufti bilan
birgalikda bo‘lmagan
n
B
B
B
...,
,
,
2
1
hodisalarning (ular gipotezalar deb ataladi) biri
bilan ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bu gipotezalarning ehtimollari ma’lum, ya’ni
)
(
...,
),
(
),
(
2
1
n
B
P
B
P
B
P
berilgan. Bu gipotezalarning har biri yuz berganligi sharti
ostida
A
hodisaning
ro‘y
berish
ehtimollari
ham,
ya’ni
)
(
),...,
(
),
(
),
(
3
2
1
A
P
A
P
A
P
A
P
n
B
B
B
B
ehtimollari ma’lum bo‘sin. U holda
A
hodisaning
ehtimoli “to‘la ehtimol” formulasi deb ataluvchi quyidagi formula bilan
aniqlanadi.
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
1
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
k
n
B
n
k
k
B
n
B
B
=
=
+
+
+
=
Birgalikda
bo‘lmagan,
hodisalarning
to‘la
guruhini
tashkil
etadigan
n
B
B
B
...,
,
,
2
1
hodisalar berilgan va ularning
)
(
...,
),
(
),
(
2
1
n
B
P
B
P
B
P
ehtimollari
ma’lum bo‘lsin. Tajriba o‘tkazilgan bo‘lib, uning natijasida
A
hodisa ro‘y bergan
bo‘lsin, deylik. Bu hodisalarning har bir gipoteza bo‘yicha shartli ehtimollari,
ya’ni
)
(
),...,
(
),
(
),
(
3
2
1
A
P
A
P
A
P
A
P
n
B
B
B
B
ma’lum.
A
hodisa ro‘y berganligi sharti ostida
i
B
gipotezalar
ehtimollarini
qayta
baholash
uchun,
ya’ni
)
(
),...,
(
),
(
),
(
3
2
1
n
A
A
A
A
B
P
B
P
B
P
B
P
shartli ehtimollarni topish uchun
)
,
1
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
n
i
A
P
B
P
A
P
B
P
B
P
k
i
B
n
k
k
B
i
i
A
=
=
=
Bayes formulalaridan foydalaniladi.
8.
Birinchi qutida 2 ta oq , 6 ta qora, ikkinchi qutida esa 4 ta oq, 2 ta qora
shar bor. Birinchi qutidan tavakkaliga 2 ta shar olib, ikkinchi qutiga solindi,
shundan keyin ikkinchi qutidan tavakkaliga bitta shar olindi.
a) olingan sharning oq bo‘lishi;
b) ikkinchi qutidan olingan shar oq bo‘lib chiqdi. Birinchi qutidan olib
ikkinchi qutiga solingan 2 ta shar oq shar bo‘lishi ehtimolini toping.
Yechish.
a) quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
A
- ikkinchi qutidan olingan shar oq;
1
B
- birinchi qutidan ikkinchi qutiga 2 ta oq shar solingan;
2
B
- birinchi qutidan ikkinchi qutiga 2 ta turli rangdagi sharlar solingan;
3
B
- birinchi qutidan ikkinchi qutiga 2 ta qora shar solingan.
3
2
1
,
,
B
B
B
- hodisalarning to‘la guruhini tashkil etganligi uchun to‘la ehtimol
formulasiga ko‘ra,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
3
2
1
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
B
B
+
+
=
boladi. Bunda:
2
2
1
2
8
1
( )
;
28
C
P B
C
=
=
1
1
2
6
2
2
8
12
(
)
;
28
C C
P B
C
=
=
2
6
3
2
8
15
(
)
;
28
C
P B
C
=
=
1
3
( )
;
4
B
P
A
=
2
5
( )
;
8
B
P
A
=
3
1
( )
.
2
B
P
A
=
U holda:
b)
)
(
1
B
P
A
ehtimollikni Bayes formulasidan foydalanib topamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
