1-laboratoriya ishi. Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimolliklari (ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta’riflari). Murakkab hodisa ehtimolliklari

Chiqis
h 
0:56 
1:00 
23.01.2021 
11:09:38 
Kirish 
1:15 
2:00 
08.01.2021 
17:15:21 
Kirish 
0:50 
1:00 
23.01.2021 
11:12:36 
Kirish 
9:36 
10:00 
08.01.2021 
18:21:42 
Chiqis
h 
0:52 
1:00 
23.01.2021 
11:30:57 
Chiqis
h 
1:58 
2:00 
08.01.2021 
18:26:05 
Kirish 
0:11 
1:00 
23.01.2021 
11:48:52 
Kirish 
0:55 
1:00 
08.01.2021 
18:42:28 
Kirish 
1:12 
2:00 
23.01.2021 
11:50:13 
Kirish 
0:31 
1:00 
08.01.2021 
18:46:02 
Chiqis
0:32 
1:00 
23.01.2021 
12:02:34 
Kirish 
0:22 
1:00 

---

h 
08.01.2021 
19:01:14 
Chiqis
h 
0:55 
1:00 
23.01.2021 
12:03:44 
Chiqis
h 
0:41 
1:00 
08.01.2021 
19:22:34 
Chiqis
h 
0:22 
1:00 
23.01.2021 
12:41:52 
Chiqis
h 
2:58 
3:00 
08.01.2021 
19:24:59 
Chiqis
h 
0:13 
1:00 
23.01.2021 
12:47:22 
Chiqis
h 
1:45 
2:00 
08.01.2021 
22:48:02 
Kirish 
8:29 
9:00 
23.01.2021 
12:49:34 
Chiqis
h 
5:15 
6:00 
09.01.2021 
01:04:23 
Kirish 
0:14 
1:00 
23.01.2021 
13:16:23 
Kirish 
0:10 
1:00 
09.01.2021 
02:55:33 
Chiqis
h 
7:57 
8:00 
23.01.2021 
15:10:31 
Kirish 
1:49 
2:00 
09.01.2021 
09:27:15 
Kirish 
0:14 
1:00 
23.01.2021 
16:13:53 
Chiqis
h 
2:34 
3:00 
09.01.2021 
09:36:50 
Kirish 
0:09 
1:00 
23.01.2021 
16:45:44 
Chiqis
h 
1:24 
2:00 
09.01.2021 
10:51:02 
Chiqis
h 
1:05 
2:00 
23.01.2021 
16:47:52 
Chiqis
h 
0:40 
1:00 
09.01.2021 
11:29:08 
Chiqis
h 
2:08 
3:00 
23.01.2021 
16:57:42 
Chiqis
h 
0:01 
1:00 
09.01.2021 
12:22:18 
Kirish 
1:38 
2:00 
23.01.2021 
16:58:36 
Kirish 
0:28 
1:00 
09.01.2021 
14:01:33 
Kirish 
0:45 
1:00 
23.01.2021 
17:05:28 
Chiqis
h 
2:55 
3:00 
09.01.2021 
14:06:02 
Kirish 
0:36 
1:00 
23.01.2021 
17:10:20 
Chiqis
h 
0:11 
1:00 
09.01.2021 
14:24:32 
Kirish 
1:00 
1:00 
23.01.2021 
17:11:08 
Chiqis
h 
1:15 
2:00 
09.01.2021 
18:59:49 
Kirish 
1:18 
2:00 
23.01.2021 
17:13:38 
Kirish 
1:39 
2:00 
09.01.2021 
19:01:36 
Kirish 
0:48 
1:00 
23.01.2021 
17:29:25 
Kirish 
1:33 
2:00 
09.01.2021 
19:16:29 
Kirish 
3:23 
4:00 
23.01.2021 
17:33:26 
Kirish 
0:11 
1:00 
09.01.2021 
20:18:14 
Chiqis
h 
0:08 
1:00 
23.01.2021 
18:35:29 
Kirish 
0:21 
1:00 
09.01.2021 
21:06:03 
Chiqis
h 
0:38 
1:00 
23.01.2021 
18:45:04 
Kirish 
0:39 
1:00 
10.01.2021 
10:02:33 
Chiqis
h 
2:01 
3:00 
23.01.2021 
18:47:23 
Kirish 
1:39 
2:00 
10.01.2021 
10:06:05 
Kirish 
11:42 
12:00 
23.01.2021 
18:55:15 
Chiqis
h 
2:53 
3:00 
10.01.2021 
12:13:17 
Chiqis
h 
0:51 
1:00 
23.01.2021 
19:23:56 
Chiqis
h 
0:08 
1:00 
10.01.2021 
12:14:30 
Chiqis
h 
0:51 
1:00 
23.01.2021 
19:24:32 
Chiqis
h 
0:13 
1:00 
10.01.2021 
12:32:40 
Chiqis
h 
0:19 
1:00 
23.01.2021 
19:47:25 
Chiqis
h 
0:22 
1:00 
10.01.2021 
13:55:22 
Kirish 
0:50 
1:00 
23.01.2021 
19:55:39 
Chiqis
h 
0:40 
1:00 
10.01.2021 
13:56:29 
Kirish 
1:30 
2:00 
23.01.2021 
19:59:21 
Chiqis
h 
2:39 
3:00 
10.01.2021 
14:00:10 
Kirish 
0:12 
1:00 
23.01.2021 
20:49:57 
Chiqis
h 
1:02 
2:00 
10.01.2021 
17:24:57 
Chiqis
h 
0:27 
1:00 
23.01.2021 
21:01:10 
Chiqis
h 
1:05 
2:00 
10.01.2021 
17:42:44 
Kirish 
0:35 
1:00 
23.01.2021 
21:03:22 
Chiqis
h 
1:06 
2:00 
10.01.2021 
18:24:55 
Kirish 
0:11 
1:00 
23.01.2021 
21:11:31 
Chiqis
h 
0:10 
1:00 
10.01.2021 
20:48:57 
Chiqis
h 
0:12 
1:00 
23.01.2021 
21:17:12 
Kirish 
0:47 
1:00 
10.01.2021 
22:04:10 
Chiqis
h 
1:02 
2:00 
23.01.2021 
21:18:26 
Chiqis
h 
0:16 
1:00 
11.01.2021 
09:47:04 
Kirish 
0:27 
1:00 
23.01.2021 
21:46:51 
Kirish 
1:17 
2:00 
11.01.2021 
11:34:41 
Chiqis
h 
1:20 
2:00 
23.01.2021 
23:23:51 
Kirish 
2:03 
3:00 
11.01.2021 
11:44:06 
Chiqis
h 
1:53 
2:00 
24.01.2021 
14:19:22 
Kirish 
0:38 
1:00 
11.01.2021 
12:03:34 
Chiqis
h 
4:44 
5:00 
24.01.2021 
14:22:47 
Kirish 
0:41 
1:00 
11.01.2021 
12:12:52 
Chiqis
h 
1:09 
2:00 
24.01.2021 
15:23:20 
Kirish 
0:45 
1:00 
11.01.2021 
12:20:16 
Chiqis
h 
1:42 
2:00 
24.01.2021 
18:17:23 
Kirish 
1:05 
2:00 
11.01.2021 
12:39:32 
Chiqis
h 
1:39 
2:00 
24.01.2021 
19:19:27 
Chiqis
h 
0:49 
1:00 
11.01.2021 
13:01:30 
Chiqis
h 
0:43 
1:00 
24.01.2021 
19:51:09 
Kirish 
2:19 
3:00 

---

11.01.2021 
13:05:11 
Chiqis
h 
0:28 
1:00 
24.01.2021 
19:56:26 
Chiqis
h 
0:34 
1:00 
11.01.2021 
16:06:50 
Kirish 
0:56 
1:00 
24.01.2021 
20:19:52 
Chiqis
h 
0:21 
1:00 
11.01.2021 
16:19:27 
Kirish 
2:52 
3:00 
24.01.2021 
20:48:56 
Chiqis
h 
0:10 
1:00 
11.01.2021 
18:11:02 
Chiqis
h 
1:59 
2:00 
25.01.2021 
09:52:26 
Kirish 
0:46 
1:00 
11.01.2021 
18:30:50 
Chiqis
h 
1:13 
2:00 
25.01.2021 
18:28:38 
Kirish 
0:40 
1:00 
11.01.2021 
20:12:13 
Chiqis
h 
5:13 
6:00 
25.01.2021 
18:58:18 
Kirish 
0:44 
1:00 
11.01.2021 
21:54:36 
Chiqis
h 
0:42 
1:00 
25.01.2021 
20:08:07 
Chiqis
h 
0:15 
1:00 
11.01.2021 
22:10:41 
Chiqis
h 
0:23 
1:00 
25.01.2021 
21:04:07 
Kirish 
0:25 
1:00 
12.01.2021 
13:33:12 
Chiqis
h 
0:33 
1:00 
25.01.2021 
23:07:19 
Chiqis
h 
1:17 
2:00 
12.01.2021 
16:24:25 
Kirish 
1:35 
2:00 
26.01.2021 
18:11:24 
Chiqis
h 
0:30 
1:00 
12.01.2021 
16:26:57 
Kirish 
1:17 
2:00 
26.01.2021 
19:39:16 
Chiqis
h 
0:16 
1:00 
12.01.2021 
16:42:20 
Chiqis
h 
0:28 
1:00 
26.01.2021 
21:41:07 
Kirish 
1:08 
2:00 
12.01.2021 
18:43:18 
Kirish 
0:48 
1:00 
27.01.2021 
09:39:00 
Chiqis
h 
0:59 
1:00 
12.01.2021 
18:48:43 
Chiqis
h 
0:25 
1:00 
27.01.2021 
11:03:18 
Chiqis
h 
1:30 
2:00 
12.01.2021 
18:50:00 
Chiqis
h 
0:32 
1:00 
27.01.2021 
11:20:50 
Chiqis
h 
0:32 
1:00 
12.01.2021 
19:06:25 
Chiqis
h 
0:09 
1:00 
27.01.2021 
12:25:48 
Kirish 
8:50 
9:00 
12.01.2021 
20:34:53 
Kirish 
1:18 
2:00 
27.01.2021 
15:18:36 
Chiqis
h 
0:42 
1:00 
13.01.2021 
09:30:20 
Chiqis
h 
0:58 
1:00 
27.01.2021 
16:12:01 
Kirish 
4:37 
5:00 
13.01.2021 
09:32:35 
Kirish 
0:47 
1:00 
27.01.2021 
16:45:59 
Kirish 
3:02 
4:00 
13.01.2021 
10:04:04 
Chiqis
h 
4:09 
5:00 
27.01.2021 
19:18:36 
Kirish 
2:14 
3:00 
13.01.2021 
10:34:02 
Kirish 
0:47 
1:00 
27.01.2021 
19:50:17 
Kirish 
2:11 
3:00 
13.01.2021 
11:32:19 
Chiqis
h 
1:09 
2:00 
27.01.2021 
20:53:38 
Chiqis
h 
0:07 
1:00 
13.01.2021 
11:36:17 
Chiqis
h 
0:48 
1:00 
28.01.2021 
09:57:53 
Chiqis
h 
4:12 
5:00 
13.01.2021 
11:59:01 
Chiqis
h 
0:14 
1:00 
28.01.2021 
10:06:45 
Kirish 
0:13 
1:00 
13.01.2021 
12:02:27 
Chiqis
h 
0:38 
1:00 
28.01.2021 
12:07:36 
Kirish 
0:45 
1:00 
13.01.2021 
12:51:14 
Kirish 
1:53 
2:00 
28.01.2021 
12:24:47 
Kirish 
1:07 
2:00 
13.01.2021 
12:53:28 
Chiqis
h 
0:29 
1:00 
28.01.2021 
14:18:34 
Kirish 
1:21 
2:00 
13.01.2021 
18:44:38 
Chiqis
h 
11:53 
12:00 
28.01.2021 
14:22:26 
Chiqis
h 
0:51 
1:00 
13.01.2021 
19:03:50 
Kirish 
0:22 
1:00 
28.01.2021 
17:02:29 
Kirish 
5:29 
6:00 
13.01.2021 
20:20:05 
Chiqis
h 
0:09 
1:00 
28.01.2021 
18:33:03 
Chiqis
h 
0:08 
1:00 
14.01.2021 
09:57:21 
Kirish 
0:52 
1:00 
28.01.2021 
20:28:26 
Chiqis
h 
2:57 
3:00 
14.01.2021 
13:04:59 
Chiqis
h 
1:17 
2:00 
28.01.2021 
20:40:08 
Kirish 
1:25 
2:00 
14.01.2021 
13:13:35 
Kirish 
1:26 
2:00 
28.01.2021 
20:47:41 
Chiqis
h 
0:09 
1:00 
14.01.2021 
14:54:49 
Kirish 
4:54 
5:00 
29.01.2021 
10:19:12 
Chiqis
h 
5:47 
6:00 
14.01.2021 
17:12:04 
Chiqis
h 
1:56 
2:00 
29.01.2021 
11:07:22 
Kirish 
0:43 
1:00 
14.01.2021 
17:14:20 
Chiqis
h 
0:26 
1:00 
29.01.2021 
11:13:33 
Kirish 
1:12 
2:00 
14.01.2021 
17:18:54 
Chiqis
h 
0:54 
1:00 
29.01.2021 
14:12:58 
Kirish 
1:39 
2:00 
14.01.2021 
17:37:09 
Chiqis
h 
4:25 
5:00 
29.01.2021 
14:16:29 
Chiqis
h 
1:14 
2:00 
14.01.2021 
17:46:25 
Chiqis
h 
0:37 
1:00 
29.01.2021 
14:27:49 
Kirish 
2:12 
3:00 
14.01.2021 
19:22:36 
Kirish 
1:07 
2:00 
29.01.2021 
14:30:24 
Chiqis
h 
1:26 
2:00 

---

14.01.2021 
20:37:36 
Kirish 
2:34 
3:00 
29.01.2021 
15:37:59 
Chiqis
h 
0:19 
1:00 
14.01.2021 
21:00:53 
Chiqis
h 
0:12 
1:00 
29.01.2021 
15:59:55 
Chiqis
h 
0:44 
1:00 
15.01.2021 
01:36:12 
Chiqis
h 
0:24 
1:00 
29.01.2021 
17:30:55 
Kirish 
0:45 
1:00 
15.01.2021 
09:26:32 
Chiqis
h 
0:31 
1:00 
29.01.2021 
18:01:05 
Kirish 
2:08 
3:00 
15.01.2021 
09:27:12 
Chiqis
h 
0:16 
1:00 
29.01.2021 
19:32:13 
Kirish 
0:28 
1:00 
15.01.2021 
12:07:48 
Kirish 
0:05 
1:00 
29.01.2021 
22:45:16 
Kirish 
12:38 
13:00 
15.01.2021 
12:08:07 
Kirish 
0:26 
1:00 
30.01.2021 
09:42:14 
Kirish 
0:42 
1:00 
15.01.2021 
13:08:04 
Chiqis
h 
0:52 
1:00 
30.01.2021 
09:45:26 
Kirish 
0:30 
1:00 
15.01.2021 
13:50:07 
Kirish 
0:32 
1:00 
30.01.2021 
09:46:26 
Kirish 
0:42 
1:00 
15.01.2021 
14:16:04 
Chiqis
h 
0:11 
1:00 
30.01.2021 
09:54:49 
Kirish 
0:23 
1:00 
15.01.2021 
14:26:56 
Kirish 
2:53 
3:00 
30.01.2021 
09:55:56 
Kirish 
0:23 
1:00 
15.01.2021 
15:21:32 
Chiqis
h 
0:47 
1:00 
30.01.2021 
10:20:12 
Kirish 
0:09 
1:00 
15.01.2021 
15:23:23 
Chiqis
h 
1:36 
2:00 
30.01.2021 
10:53:31 
Kirish 
0:08 
1:00 
15.01.2021 
17:10:47 
Chiqis
h 
2:14 
3:00 
30.01.2021 
11:02:59 
Kirish 
0:30 
1:00 
15.01.2021 
17:16:22 
Kirish 
3:56 
4:00 
30.01.2021 
11:06:25 
Chiqis
h 
1:16 
2:00 
15.01.2021 
18:20:10 
Chiqis
h 
0:18 
1:00 
30.01.2021 
11:07:54 
Chiqis
h 
6:04 
7:00 
15.01.2021 
18:27:18 
Chiqis
h 
0:32 
1:00 
30.01.2021 
11:39:46 
Chiqis
h 
0:14 
1:00 
15.01.2021 
19:16:32 
Chiqis
h 
2:43 
3:00 
30.01.2021 
12:07:17 
Chiqis
h 
0:17 
1:00 
15.01.2021 
19:29:12 
Chiqis
h 
0:10 
1:00 
30.01.2021 
12:22:17 
Kirish 
1:36 
2:00 
15.01.2021 
20:32:29 
Kirish 
0:39 
1:00 
30.01.2021 
14:03:21 
Kirish 
1:13 
2:00 
16.01.2021 
10:41:33 
Chiqis
h 
3:14 
4:00 
30.01.2021 
16:06:57 
Kirish 
3:15 
4:00 
16.01.2021 
11:16:33 
Kirish 
1:52 
2:00 
30.01.2021 
16:10:49 
Chiqis
h 
1:38 
2:00 
16.01.2021 
12:49:17 
Chiqis
h 
1:30 
2:00 
30.01.2021 
16:39:12 
Chiqis
h 
7:55 
8:00 
16.01.2021 
13:05:34 
Chiqis
h 
0:30 
1:00 
30.01.2021 
17:36:02 
Chiqis
h 
1:04 
2:00 
16.01.2021 
13:13:25 
Chiqis
h 
0:35 
1:00 
30.01.2021 
17:39:32 
Chiqis
h 
0:28 
1:00 
16.01.2021 
13:17:08 
Chiqis
h 
1:10 
2:00 
30.01.2021 
18:06:09 
Kirish 
0:23 
1:00 
16.01.2021 
16:42:43 
Kirish 
1:02 
2:00 
30.01.2021 
22:11:36 
Kirish 
0:41 
1:00 
16.01.2021 
16:45:44 
Kirish 
0:45 
1:00 
31.01.2021 
10:49:38 
Kirish 
1:11 
2:00 
16.01.2021 
17:20:02 
Chiqis
h 
0:21 
1:00 
31.01.2021 
11:25:10 
Kirish 
7:13 
8:00 
16.01.2021 
18:49:23 
Chiqis
h 
0:16 
1:00 
31.01.2021 
11:55:42 
Chiqis
h 
3:13 
4:00 
16.01.2021 
21:56:25 
Chiqis
h 
0:38 
1:00 
31.01.2021 
13:00:43 
Kirish 
0:40 
1:00 
16.01.2021 
22:28:26 
Chiqis
h 
0:23 
1:00 
31.01.2021 
13:45:39 
Kirish 
0:08 
1:00 
16.01.2021 
22:42:43 
Kirish 
1:01 
2:00 
31.01.2021 
13:47:36 
Kirish 
0:13 
1:00 
17.01.2021 
10:55:51 
Chiqis
h 
0:29 
1:00 
31.01.2021 
14:46:00 
Kirish 
1:43 
2:00 
17.01.2021 
13:06:39 
Chiqis
h 
0:41 
1:00 
31.01.2021 
15:50:08 
Kirish 
0:14 
1:00 
17.01.2021 
14:18:04 
Chiqis
h 
0:37 
1:00 
31.01.2021 
16:03:59 
Chiqis
h 
0:50 
1:00 
17.01.2021 
14:20:17 
Kirish 
0:10 
1:00 
31.01.2021 
20:54:33 
Kirish 
1:29 
2:00 
17.01.2021 
15:29:24 
Kirish 
0:23 
1:00 
31.01.2021 
20:57:16 
Chiqis
h 
0:40 
1:00 
17.01.2021 
15:34:52 
Kirish 
0:39 
1:00 
31.01.2021 
21:54:22 
Kirish 
1:30 
2:00 
 
Juda katta hajmdagi maʻlumotlar bazasini organishga qulay qilish uchun Excel 
dasturlar paketidan foydalanamiz: 

---

Bir oy davomida nechta soʻzlashuv amalga oshirilganligi aniqlash uchun kerakli 
ustun ajratib koʻrsatish kifoya ularning sonini Excel oynasi pastki qatorida 
koʻrinadi: 
Nat
ijad
a bir oy davomida n=398 ta soʻzlashuv amalga oshirilganligini aniqlaymiz. 
Necha minutlik soʻzlashuvlar nechta ekanligini aniqlash uchun esa 
Excel CТАТИСТИЧЕСКИЕ СЧЁТЕСЛИ buyrugʻidan foydalanamiz: 
Ushbu buyruqlar ketma-ketligini har bir soʻzlashuv davomiyligi uchun qoʻllab, 
Diskret tasodifiy miqdorni quyidagicha taqsimot qonuniga ega boʻlamiz: 
Taqsimot 
funksiya 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
1 
215 
0,540 
0,540 
0,540 
-
1,060 
1,124 
0,607 
2 
94 
0,236 
0,776 
0,472 
-
0,060 
0,004 
0,001 
3 
39 
0,098 
0,874 
0,294 
0,940 
0,883 
0,087 
4 
14 
0,035 
0,910 
0,141 
1,940 
3,762 
0,132 
5 
16 
0,040 
0,950 
0,201 
2,940 
8,642 
0,347 
6 
6 
0,015 
0,965 
0,090 
3,940 
15,521 
0,234 
7 
2 
0,005 
0,970 
0,035 
4,940 
24,401 
0,123 

---

8 
5 
0,013 
0,982 
0,101 
5,940 
35,280 
0,443 
9 
3 
0,008 
0,990 
0,068 
6,940 
48,159 
0,363 
10 
1 
0,003 
0,992 
0,025 
7,940 
63,039 
0,158 
11 
0 
0,000 
0,992 
- 
8,940 
79,918 
- 
12 
2 
0,005 
0,997 
0,060 
9,940 
98,798 
0,496 
13 
1 
0,003 
1,000 
0,033 
10,940 
119,677 
0,301 
398 
1,000 
2,060 
64,216 
3,293 
Qoʻlda hisoblashlarni soddalashtirish uchun formulalarga qoyib hisoblashda
yordamchi bir nechta ustunlarni ham qoʻshib hisoblab olamiz, natijada 
1)
1-ustundagi sonlar 1-savolimizga javob boʻladi. 
2)
3-ustundagi sonlar 2-savol javobi boʻladi.
3)
1-va 3-ustunlar esa biz qidirayotgan diskret tasodifiy miqdor taqsimot 
qonuni boʻladi. 
4)
Diskret tasodifiy miqdor taqsimot koʻpburchagini chizish uchun 3-ustundagi 
sonlarni ajratib koʻrsatib, excelda diagramma chizamiz. 
5)
Diskret tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi 

---

Taqsimot funksiya qabul qiladigan qiymatlar sifatida 4-ustundagi 
qiymatlardan foydalanamiz. 
6)
Taqsimot funksiya grafigini chizishda aynan 4-ustundagi sonlarni ajratib 
koʻrsatib diagramma chizilsa kifoya 
7)
M
a
t
e
m
a
t
i
k
k
u
t
i
lmani topamiz 
Excel
Математические СУММПРОИЗВ Массив1 degan joyga ustunni, 
Массив2 degan joyga ustundagi sonlar oʻrni koʻrsatilsa, matematik kutilma 
dasturning oʻzi xisoblab beradi. 

---

8)
Dispersiyani hisoblash 
bunday koʻpaytmalar yigʻindisini 
yordamchi jadvalimizda hisoblab qoʻyganmiz=3.293 
Excelda dispersiyani hisoblash uchun, yana Excel
Математические 
СУММПРОИЗВ buyruqdan foydalanish mumkin, faqatgina kerakli massivlarni 
koʻrsatsak boʻlgani. 
9)
Oʻrtacha kvadratik chetlanishni topish uchun dispersiyadan ildiz olsak 
boʻlgani: 
10)
Diskret tasodifiy miqdor modasi, bu X tasodifiy miqdorning eng katta 
ehtimolli qiymatidir. 

---

11)
12)
13)
14)
Olingan natijalar boʻyicha xulosa qilish talabaga havola. 
Yuqorida qilingan barcha ishlar natijalari Excelda bir varroqni tashkil 
etadi va u quyidagi koʻrinishni tashkil etadi. 

---

Mustaqil yechish uchun masalalar 
 
1. X
uzluksiz tasodifiy miqdorning












=
.
2
,
1
,
2
0
,
sin
,
0
,
0
)
(


x
agar
x
agar
x
x
agar
x
F
taqsimot funksiyasi berilgan. 
f(x)
zichlik funksiyani toping.
2. X
uzluksiz tasodifiy miqdorning 

---

zichlik funksiyasi berilgan. 
F (x)
taqsimot funksiyasini toping.
3. X
uzluksiz tasodifiy miqdorning













=
.
3
,
0
,
3
6
,
3
sin
3
,
6
,
0
)
(




x
agar
x
agar
x
x
agar
x
f
zichlik funksiyasi berilgan . 
F (x)
taqsimot funksiyani toping.
4-laboratoriya ishi. 
 
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar. 
 
Laboratoriya ishining maqsadi: 
Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlarni o’rganish. 
Metodik ko’rsatmalar 
 
Bir o‘lchovli t.m.lardan tashqari, mumkin bo‘lgan qiymatlari 2 ta, 3 ta, ..., n ta son 
bilan aniqlanadigan miqdorlarni ham o‘rganish zarurati tug‘iladi. Bunday 
miqdorlar mos ravishda ikki o‘lchovli, uch o‘lchovli, … , 
n
o‘lchovli deb ataladi.
Faraz qilaylik, ( ,
)
P

A , 
ehtimollik fazosida aniqlangan 
1
2
,
,...,
n
X X
X
t.m.lar berilgan bo‘lsin.
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X X
X
=
vektorga tasodifiy vektor yoki 
n
-o‘lchovli t.m. deyiladi. 
Ko‘p o‘lchovli t.m. har bir elementar hodisa 

ga n ta 
1
2
,
,...,
n
X X
X
t.m.larning 
qabul qiladigan qiymatlarini mos qo‘yadi.
1
2
,
,...,
1
2
1
1
2
2
( ,
,...,
)
{
,
,...,
}
n
X X
X
n
n
n
F
x x
x
P X
x X
x
X
x
=



n
o‘lchovli funksiya 
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X X
X
=
tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki 
1
2
,
,...,
n
X X
X
t.m.larning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi. 
 
0,
0
( )
cos ,
0
2
0,
2
агар x
f x
x агар
x
агар x







=
 






---

Qulaylik uchun 
1
2
,
,...,
1
2
( ,
,...,
)
n
X X
X
n
F
x x
x
taqsimot funksiyani 
1
2
,
,...,
n
X X
X
indekslarini tushirib qoldirib, 
1
2
( ,
,...,
)
n
F x x
x
ko‘rinishida yozamiz.
1
2
( ,
,...,
)
n
F x x
x
funksiya 
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X X
X
=
tasodifiy vektorning taqsimot 
funksiyasi bo‘lsin. Ko‘p o‘lchovli 
1
2
( ,
,...,
)
n
F x x
x
taqsimot funksiyaning asosiy 
xossalarini keltiramiz: 
1. 
1
2
: 0
( ,
,...,
) 1
i
n
x
F x x
x



, ya’ni taqsimot funksiya chegaralangan. 
2. 
1
2
( ,
,...,
)
n
F x x
x
funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas 
va chapdan uzluksiz. 
3. Agar biror 
i
x
→ +
bo‘lsa, u holda 
1
1
1
1
2
1
1
1
,...,
,
,...,
1
1
1
lim
( ,
,...,
)
( ,...,
, ,
,...,
)
( ,...,
,
,...,
)
i
i
i
n
n
i
i
n
x
X
X
X
X
i
i
n
F x x
x
F x
x
x
x
F
x
x
x
x
−
+
−
+
→+
−
+
=

=
=
4. Agar biror 
i
x
→ −
bo‘lsa, u holda 
1
2
lim
( ,
,...,
)
0
i
n
x
F x x
x
→−
=
. 
3-xossa 
yordamida 
keltirib 
chiqarilgan 
(3.1.1) 
taqsimot 
funksiyaga 
marginal(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi. 
1
2
(
,
,...,
)
n
X
X X
X
=
tasodifiy 
vektorning 
barcha 
marginal 
taqsimot 
funksiyalari 
soni 
1
2
1
...
n
n
n
n
k
C
C
C
−
=
+
+ +
=
0
0
2
2
n
m
n
n
n
n
n
n
C
C
C
=
−
−
=
−

ga tengdir.
Masalan, 
1
2
(
,
)
X
X X
=
(
n
=2) ikki o‘lchovlik tasodifiy vektorning marginal 
taqsimot funksiyalari soni 
2
2
2
2
k
=
− =
ta bo‘lib, ular quyidagilardir: 
1
1
1
1
1
( ,
)
( )
(
);
F x
F x
P X
x
+ =
=

2
2
2
2
2
(
,
)
(
)
(
)
F
x
F x
P X
x
+
=
=

.
Soddalik uchun 
n
=2 bo‘lgan holda, ya’ni (
X
,
Y
) ikki o‘lchovlik tasodifiy 
vector bo‘lgan holni ko‘rish bilan cheklanamiz.
 
3.2 Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni 
 
(
X
,
Y
) ikki o‘lchovli t.m. taqsimot qonunini
{
,
};
1, ,
1,
ij
i
j
p
P X
x Y
y
i
n j
m
=
=
=
=
=
 
formula yordamida yoki quyidagi jadval ko‘rinishida berish mumkin: 
Y 
X 
1
y
2
y
… 
m
y
1
x
11
p
12
p
… 
1
m
p
2
x
21
p
22
p
… 
2
m
p
… 
… 
… 
… 
… 

---

bu 
erda 
barcha 
ij
p
ehtimolliklar 
yig‘indisi 
birga 
teng, 
chunki 
{
,
}
1, ,
1,
i
j
X
x Y
y
i
n j
m
=
=
=
=
birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la gruppani 
tashkil etadi 
1
1
1
n
m
ij
i
j
p
=
=
=

formula ikki o‘lchovli diskret t.m.ning taqsimot qonuni, 
jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.
(
X
,
Y
) ikki o‘lchovli diskret t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan 
bo‘lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish 
mumkin. Har bir 
1,
i
n
=
uchun 
1
2
{
,
},{
,
},...,{
,
}
i
i
i
m
X
x Y
y
X
x Y
y
X
x Y
y
=
=
=
=
=
=
hodisalar birgalikda bo‘lmagani sababli: 
1
2
{
}
...
i
x
i
i
i
im
p
P X
x
p
p
p
=
=
=
+
+ +
. 
Demak, 
1
{
}
,
i
m
x
i
ij
j
p
P X
x
p
=
=
=
=

1,
i
n
=
, 
1
{
}
j
n
y
j
ij
i
p
P Y
y
p
=
=
=
=

1,
j
m
=
. 
 
1-misol. 
Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko‘k shar bo‘lgan idishdan tavakkaliga 
ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni 
X
t.m. va ko‘k rangdagi 
sharlar soni 
Y
t.m. bo‘lsin. (
X
,
Y
) ikki o‘lchovli t.m.ning birgalikdagi taqsimot 
qonunini tuzing. 
X
va 
Y
t.m.larning alohida taqsimot qonunlarini toping. 
X
t.m. qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: 
Y
t.m.ning qiymatlari ham 0 
va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz: 
2
2
11
2
4
1
{
0,
0}
6
C
p
P X
Y
C
=
=
=
=
=
(yoki 
2 1
1
4 3
6
 =
); 
1
2
12
2
4
2
{
0,
1}
6
C
p
P X
Y
C
=
=
= =
=
; 
21
2
{
1,
0}
6
p
P X
Y
=
=
=
=
; 
22
1
{
1,
1}
6
p
P X
Y
=
=
= =
. 
(
X
,
Y
) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko‘rinishga ega:
Bu 
erdan 
1
2
1
{
0}
6
6
2
P X
=
= + =
, 
2
1
1
{
1}
6
6
2
P X
= = + =
; 
1
2
1
{
0}
6
6
2
P Y
=
= + =
, 
2
1
1
{
1}
6
6
2
P Y
= = + =
kelib chiqadi. 
X
va 
Y
t.m.larning alohida taqsimot qonunlari quyidagi ko‘rinishga 
ega bo‘ladi: 
n
x
1
n
p
21
p
… 
nm
p
Y 
X 
0 
1 
0 
1
6
2
6
1 
2
6
1
6

---

: 0, 1
1
1
:
,
2
2
X
p




va 
: 0, 1
1
1
:
,
2
2
Y
p




. 
Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari 
 
Ikki o‘lchovli t.m. taqsimot funksiyasini 
F
(
x
,
y
) orqali belgilaymiz.
 
Ikki o‘lchovli (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi,x
va 
y
sonlarning har bir 
jufti uchun {
}
X
x

va {
}
Y
y

hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini 
aniqlaydigan 
F
(
x
,
y
) funksiyasidir: ya’ni
(
)
( . )
(
, ) (
, )
( , )
{
,
}
X Y
x
y
D
F x y
P X
x Y
y
P
 −
 −
=
=


=
.
tenglikning geometrik tasviri rasmda keltirilgan.
(
X
,
Y
) ikki o‘lchovlik diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagi yig‘indi orqali 
aniqlanadi: 
( , )
ij
i
j
F x y
p
x x y y
=  


.
Ikki o‘lchovlik t.m. taqsimot funksiyasining xossalari: 
1. ( , )
F x y
taqsimot funksiya chegaralangan: 
0
( , ) 1
F x y


. 
2. ( , )
F x y
funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas:
agar 
2
1
x
x

bo‘lsa, 
2
1
( , )
( , )
F x y
F x y

, 
agar 
2
1
y
y

bo‘lsa, 
2
1
( ,
)
( ,
)
F x y
F x y

. 

---

3. 
( , )
F x y
funksiyaning biror argumenti 
−
bo‘lsa(limit ma’nosida), u 
holda ( , )
F x y
funksiya nolga teng, 
( ,
)
(
, )
(
,
)
0
F x
F
y
F
− =
−
=
− − =
. 
4. Agar ( , )
F x y
funksiyaning bitta argumenti 
+
bo‘lsa(limit ma’nosida), u 
holda
1
( )
( )
( ,
)
X
x
F
x
F x
F
=
+ =
; 
2
( )
( )
(
, )
Y
y
F y
F
y
F
=
+
=
.
4
o
. Agar ikkala argumenti 
+
bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda 
(
)
1
,
F
=
+ +
. 
5. 
( , )
F x y
funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha chapdan uzluksiz, ya’ni 
0
0
0
lim
( , )
( , )
x
x
F x y
F x y
→ −
=
, 
0
0
0
lim
( , )
( ,
)
y
y
F x y
F x y
→ −
=
.
 
X
va 
Y
tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya momenti (yoki kovariasiyasi) deb, 
quyidagi songa aytiladi: 
( )
(
)
( )
(
)


Y
M
Y
X
M
X
M
K
xy
−
−
=
. 
X
va 
Y
tasodifiy miqdorlar diskret bo‘lsa, u holda bu formula quyidagi 
ko‘rinishini oladi: 
( )
(
)
( )
(
)
xy
i
i
ij
i j
K
x
M X
y
M Y
p

=
−
−

, 
bunda 
(
)
;
ij
i
j
p
P X
x Y
y
=
=
=
. 
Korrelyatsiya 
momentiifodasini 
matematik 
kutilmaxossalariasosidaquyidagichaalmashtirilishmumkin; 
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )


=
+
−
−
=
−
−
Y
M
X
M
X
YM
Y
XM
XY
M
Y
M
Y
X
M
X
M
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
M XY
M X M Y
M Y M X
M X M Y
M XY
M X M Y
=
−
−
+
=
−
. 
3-teorema.
Agar tasodifiymiqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, u holda 
korrelyatsiya momentinolgateng bo‘ladi. 
6-ta’rif.
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsienti deb 
y
x
xy
xy
K
r


=
(6) 
tenglik bilan aniqlanadigan kattalikka aytiladi. 
Korrelyatsiya momenti uchun quyidagi 
xy
x
y
K
D D

tengsizlik o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin, chunki 
1
xy
r

. 
Agar 
X
va 
Y
tasodifiy miqdorlar bog‘liqmas bo‘lsa, u holda ularning 
korrelyatsiya koeffitsienti nolga tengligini ko‘rsatish qiyin emas. 
Quyidagi teorema tasodifiy miqdorlar orasida bog‘lanishni tavsiflashda 
korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini yana ham batafsil oydinlashtirib beradi. 

---

4-teorema.
Agar 
Y
tasodifiy miqdor 
X
tasodifiy miqdorning chiziqli 
funksiyasi, ya’ni 
b
aX
Y
+
=
bo‘lsin, u holda agar 
0
a

bo‘lsa, 
1
=
xy
r
, agar 
0
a

bo‘lsa,
1
−
=
xy
r
bo‘ladi. 
Isbot
. 
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
xy
K
M
X
M X
Y
M Y
M
X
M X
aX
b
M Y




=
−
−
=
−
+ −
=




( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2
2
x
M
X
M X
aX
b
aM X
b
aM
X
M X
aD X
a





=
−
+ −
−
=
−
=
=




, 
( )
( )
2
2
2
2
,
y
x
y
x
D Y
a D X
a
a




=
=
=
=
, 
2
2
1,
0,
1,
0.
xy
x
xy
x
y
x
K
a
a
r
a
a

 



=
=
= 
−


 
2. 
Birxilturdagimahsulotishlabchiqaruvchi 
5 
tasanoatkorxonalaribo‘yichaquyidagimahsulotlarolingan.
Mehnatni elektr energiya bilan 
ta’minlanganligi- 
X 
(kvt/soat) 
7,1 
8,3 
8,5 
9 
10,5 
Mehnat unumdorligi – 
Y
(dona) 
14 
16 
14 
15 
17 
Bu ma’lumotlardan foydalanib tanlanma korrelyatsiya koeffitsientini toping.
Yechish
. 
,
(*)
i
i
T
x
y
x y
nx y
r
n
 
−

=

formuladagi zarur hisoblashlarni bajaramiz: 
68;
,
8
5
5
,
10
9
5
,
8
3
,
8
1
,
7
=
+
+
+
+
=
x
2;
,
15
5
76
5
17
15
14
16
14
=
=
+
+
+
+
=
y
1;
,
1
68
,
8
5
5
,
10
9
5
,
8
3
,
8
1
,
7
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2

−
+
+
+
+
=
−
=

x
n
x
i
x


---

Aniqlangan qiymatlarni (*) formulaga qo‘ysak, 
bo‘ladi.
 
 
Mustaqilechishuchunmasalalar. 
 
1
. 
Berilgan jadvaldan foydalanib, tanlanma shartli o‘rtacha-
y
x
ni toping. 
X
 
Y
4 
4,5 
5 
5,5 
6 
8 
5 
3 
- 
- 
- 
10 
2 
4 
5 
4 
3 
13 
- 
1 
1 
2 
2 
2. Berilgan jadvaldan foydalanib, tanlanma shartli o‘rtacha-
x
y
ni toping. 
X
 
Y
3 
3,5 
4 
4,5 
5 
7 
5 
3 
- 
- 
- 
9 
2 
3 
5 
3 
1 
13 
- 
1 
1 
2 
2 
16;
,
1
2
,
15
5
17
15
14
16
14
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2

−
+
+
+
+
=
−
=

y
n
y
i
y


=

+

+

+

+

=
7. 
,
664
17
5
,
10
15
9
14
5
,
8
16
3
,
8
14
1
,
7
i
i
y
x
79 
,
0
38
,
6
02
,
5
6
,
1
1
,
1
5
2
,
15
68
,
8
5
7
,
664

=




−
=
T
r