1. Kirish izika

E

nergiyaningsaqlanishqonunigabinoangarmoniktebranayotganmoddiynuqtaningto‘liqenergiyasio‘zgarmasbo‘lib, kinetikenergiyapotensialenergiyagavaaksinchaaylanibturadi, ya’ni:

(23)
Muvozanat holatidan chiqarilgan va tashqi kuchlar ta’sirida bo‘lmagan mayatniklarning tebranishlariga erkin tebranishlar yoki xususiy tebranishlar deyiladi. Mayatniklarningerkintebranishlarifaqatishqalanishbo‘lmaganhollardaginagarmoniktebranishlarbo‘laoladi.

Mayatnik deb og‘irlik markazdan o‘tmagan ixtiyoriy o‘q atrofida tebrana oladigan har qanday qattiq jismga aytiladi.
Mayatniklarning eng sodda turi matematik mayatnikdir.
Matematik mayatnik deb vaznsiz ingichka cho‘zilmaydigan ipga osilgan, ma’lum massali moddiy nuqtadan iborat sistemaga aytiladi.
Juda kichik shar osilgan ingichka ipdan tashkil topgan mayatnik amalda matematik mayatnik bo‘la oladi (2 - rasm).

2 – rasm

Matematikmayatnikmuvozanatvaziyatidanjudakichik, ya’ni 5ºdankattabo‘lmagan burchakostidagitebranishihamgarmoniktebranishdaniboratbo‘ladi.

Matematik mayatnik tebranish davrini ifodalovchi formulani kelib chiqishini qarab chiqamiz.
Garmonik tebranayotgan matematik mayatnik chetki muvozanat holatda bo‘lganda (2 – rasm), uning og‘irlik kuchini ikkita va tashkil etuvchi kuchlarga bo‘lamiz. Og‘irligining tashkil etuvchisi ipning - taranglik kuchi bilan muvozanatlashadi.
mayatnikni muvozanat holatiga qaytaruvchi tashkil etuvchi kuch esa tebranishni hosil qiladi. Bunda minus ishora kuch X siljishga qarama-qarshi yo‘nalganligini ifodalaydi. Rasmda bo‘lgani uchun kuch quyidagiga teng bo‘ladi:

(24)
Ikkinchi tomonidan, Nyuton ikkinchi qonuniga binoan matematik mayatnikning harakat tenglamasi quyidagiga tengdir:

(25)
(

24) va (25) formulalarni tenglashtirib, matematik mayatnikning garmonik tebranishining tezlanishini aniqlaymiz:

(26)
Bu oniy tezlanish bo‘lganligi uchun

(27)
(27) formuladan matematik mayatniknig siklik chastotasi - ni aniqlaymiz:

Shunday qilib, matematik mayatnikning tebranishi garmonik bo‘lganda uning tebranish davri (26) dan quyidagiga teng bo‘ladi:

(28)
Matematik mayatnikning tebranish davri, uzunlikdan chiqarilgan kvadrat ildizga proporsional bo‘lib, erkin tushish tezlanishidan chiqarilgan ildizga teskari proporsional.

Mayatnikning tebranish davri uning massasiga va tebranish davri amplitudasiga bog‘liq bo‘lmaydi, ya’ni tebranishning boshidagi va oxiridagi davrlari bir xil bo‘ladi.
Mayatniklarning juda keng tarqalgan amaliy tadbiqi ulardan soatlarda vaqtni o‘lchash uchun foydalanishdir.
Laboratoriyada matematik mayatnik yordamida erkin tushish tezlanishi ning qiymatini aniqlash mumkin.
B

uning uchun o‘lchanayotgan mayatnik tebranishining yetarlicha katta tebranish soni asosida uning tebranish davri topilib, esa (28) formuladan aniqlanadi:

(28’)

Erkin tushish, ya’ni og‘irlik kuchining tezlanishi og‘irlik singari balandlik va chuqurlik hamda joyning geografik kengligiga bog‘liqdir. Hamda tebranayotgan real sistemalar so‘nuvchi tebranishlarga ega, chunki sistemaga ishqalanish kuchlari yoki qarshilik kuchlari ta’sir qiladi va bu kuch quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
(29)
bunda: - qarshilik koeffitsiyenti, - harakat tezligi.
S

o‘nuvchi tebranishlar uchun Nyutonning 2-qonunini yozamiz:

(30)
A

gar: va bo‘lsa, u paytda (25) formula quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

(31)
Hosil bo‘lgan (26) formula so‘nuvchi tebranishlarning differensial tenglamasi deb aytiladi. Differensial tenglamani yechish natijasida siljishning vaqtga bog‘liqligi hosil bo‘ladi:

(32)
bunda

( - natural logarifm asosi) (33)

so‘nuvchi tebranishlar amplitudasi.
(28) formuladan ko‘rinib turibdiki, tebranish amplitudasi vaqt o‘tishi bilan kamaya boradi.
So‘nuvchi tebranishlarning siklik chastotasi esa:

(34)
b

unda: - erkin, so‘nmas tebranishlarning siklik chastotasi. So‘nuvchi tebranishlarning davri esa:

(35)
S

o‘nuvchi tebranishlarning amplituda nisbatini va vaqt paytida topamiz.
Bunda: (36)
yoki

(37)

- so‘nish koeffitsiyenti

(38)
bu yerda - so‘nishning logarifm dekrementi.

Erkin tebranishlar vaqt o‘tgandan keyin bora-bora to‘xtaydi, shu sababli ulardan amalda kamdan kam foydalanadi. Istagancha uzoq vaqt davom eta oladigan so‘nmas tebranishlar esa katta amaliy ahamiyatga ega.
So‘nmaydigan tebranishlarni hosil qilishning eng oson usuli sistemaga tashqi davriy ravishda o‘zgarib turuvchi kuch bilan ta’sir etishdir.