1. Kirish izika

Tebranuvchi sistemada davriy ravishda o‘zgaruvchi tashqi kuch majbur etuvchi kuch ta’sirida sodir bo‘ladigan so‘nmovchi tebranishga majburiy tebranish deyiladi.
D

inamikaning asosiy tenglamasini majburiy tebranishlar uchun quyidagicha bo‘ladi:
(39)
b

u yerda: - majburiy kuch, yoki (34) formulani quyidagi ko‘rinishda yozsak bo‘ladi:

(40)
(

40) formula, majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi.
Agar
(41)
bo‘lsa va shu kuch ta’sirida hosil bo‘lgan tebranishlar garmonik bo‘lsa va

(42)
u

paytda majburiy tebranishlarning amplitudasini topish kerak. (42) formuladan biz bilamizki,
(43)
A

gar shu ifodalarni (40) tenglamaga qo‘ysak, u paytda quyidagini hosil qilamiz:
(44)
(44) tenglikninghama a’zolarini ga bo‘lib chiqamiz:


(45)
Demak, (45) tenglikni shunday yozishimiz mumkin:


bunda:

(46)

(

46) ifoda asosida:

(47)
(47) formula majburiy tebranishlar amplitudasining formulasi deyiladi.

Majburiy tebranishning amplitudasi tebranayotgan sistemaning xossalariga, majburiy kuchning amplitudasi va chastotasiga, hamda sistema xususiy chastotasining nisbatiga bog‘liq bo‘ladi. Sistemaga ta’sir qiluvchi majburiy kuchning chastotasi o‘zgarganda uning amplitudasi ham o‘zgaradi. Davriy ravishda o‘zgaruvchi majburiy kuchning chastotasi sistemaning xususiy chastotasiga yaqinlanishi bilan majburiy tebranishning amplitudasi ortadi va chastotalar teng bo‘lganda u maksimal qiymatga erishadi.
Tebranayotgan sistemaga ta’sir qiluvchi davriy o‘zgaruvchi majburiy kuchning chastotasi sistemaning xususiy tebranish chastotasiga tenglashganda majburiy tebranish amplitudasining keskin o‘sishiga rezonans deyiladi.
Rezonans hodisasi tabiat va texnikada katta amaliy ahamiyatga ega. Rezonans hodisasi faqat mexanik hodisalardagina emas, hatto elektrotexnikada, optikada va yadro fizikasida ham foydalaniladi. Radiopriyomnik, televizor va hokazolarning ishlashi rezonans hodisasiga asoslangandir.
Rezonans hodisasi ko‘pgina zarar ham keltiradi. Masalan, ma’lum tovush chastotalarida ba’zan radiopriyomnik korpusi titraydi, ritmik ravishda ishlaydigan mashinalar o‘rnatilgan fundamentlar parchalanishi va buzilishi mumkin. Aviatsiyada rezonans hodisasi samolyotlarni parchalab yuborishi mumkin. Shuning uchun ham rezonans hodisasi zarar keltiradigan joylarda nazariya va tajribalar yordamida rezonans hosil bo‘lishining oldini olish mumkin.
Endi biz qandaydir yaxlit elastik muhitga qisqa vaqtli kuch emas, davriy o‘zgaruvchan kuch ta’sir qilganda muhitda bo‘ladigan harakatni o‘rganamiz.
Faraz qilaylikki, qandaydir sistema muhitda tebranma harakatda bo‘lsin. Muhit zarrachalari bir-biri bilan bog‘langan bo‘lsa; tebranish harakat energiyasi sistemani o‘rab turgan muhit zarrachalariga beriladi va ularni tebranma harakatga keltiradi. Ana shunday tebranishlarning muhitda tarqalishi to‘lqinlar deb ataladi.
Mexanik to‘lqin deb, mexanik tebranishlarning elastik muhitda tarqalish protsessiga aytiladi. To‘lqinlar tebranishlari va tarqalish yo‘nalishining o‘zaro munosabatiga qarab ikki turga bo‘linadi: bo‘ylama va ko‘ndalang to‘lqinlar.
A

gar muhit zarralarining tebranishi to‘lqin tarqalayotgan yo‘nalish bo‘yicha bo‘lsa, bunday to‘lqinlar bo‘ylama to‘lqinlar deyiladi va ularning tezligi quyidagi formuladan topiladi:

(48)
bunda – elastiklik yoki Yung moduli;

- muhitning zichligi.
A

gar muhit zarralarining tebranishi to‘lqin tarqalish yo‘nalishiga tik bo‘lsa, bunday to‘lqin ko‘ndalang to‘lqin deyiladi va uning tarqalish tezligi quyidagi formuladan topiladi:

(49)
bunda G – siljish moduli, ya’ni siljish deformatsiyasini harakterlovchi kattalik.

Bo‘ylama to‘lqinlar elastik xajmga ega bo‘lgan muhitda ya’ni qattiq, suyuq va gazsimon jismlardagina tarqala oladi. Ko‘ndalang to‘lqinlar esa siljish deformatsiyasiga ega bo‘lgan muhitda, ya’ni faqat qattiq jismlarda va ikki muhit chegarasida tarqala oladi.
Bo‘ylama to‘lqinlarga tovush to‘lqinlarini misol qilib olish mumkin. Ko‘ndalang to‘lqinlarga esa suyuqlik sirtida, rezina shnur, tor va shu kabilar bo‘ylab tarqalgan to‘lqinlar misol bo‘la oladi.
Sistema sinusoidal tebranganda:

(50)
T

ebranish manbaidan ruzoqlikda yotgan muhit nuqtasi tebranish boshlangandan keyin qandaydir vaqt o‘tgandan so‘ng tebrana boshlaydi (3 – rasm). Bu vaqt ga teng ( – to‘lqinning tarqalish tezligi). Ana shu r masofada yotgan nuqtaning siljishini to‘lqinni hosil qilayotgan tebranish siljishi qonuniyati bilan bog‘lasak,

(51)
bo‘ladi.

3 – rasm
B

u tenglama yuguruvchi to‘lqin tenglamasi deb yuritiladi. Siklik (davriy) chastota ekanini hisobga olsak,

(52)
bu yerda,

.

(53)