1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

3-misol. to’plamda funksiya o’lchovli bo’lsa, funksiya ham o’lchovli bo’ladimi?

to’plamda o’lchovli bo’lmagan A qism to’plam berilgan bo’lsin. funksiyani quyidagicha tuzamiz:

Bu funksiya o’lchovli emas chunki uchun o’lchovli to’plam emas. Lekin funksiya da o’lchovli. Demak, funksiya o’lchovli ekanidan funksiya o’lchovli ekanligi kelib chiqmaydi.

8-mashq. Quyidagi funksiyalar o’lchovli bo’ladimi?

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

8.11. 8.12.

(K - Kantor to’plami)

8.13.

(K - Kantor to’plami)

8.14.

8.16.

9-mashq. Quyidagi tasdiqlarni to’g’riligini isbotlang.

9.1. Agar o’lchovli funksiya bo’lsa, u holda funksiya ham o’lchovli bo’ladi.

9.2. Agar o’lchovli funksiya bo’lsa, umumiy holda qaraganda funksiya o’lchovli bo’lishi kelib chiqmaydi.

9.3. Agar to’plamda funksiya o’lchovli va uchun bo’lsa, u holda funksiya ham o’lchovli bo’ladi.

9.4. Agar o’lchovli funksiya bo’lsa, u holda funksiyalar ham o’lchovli bo’ladi.

9.5. Agar va funksiyalar to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda funksiyalar ham o’lchovli bo’ladi.

9.6. Agar funksiya har qanday kesmada o’lchovli bo’lsa, u holda u da ham o’lchovli bo’ladi.

9.7. Agar o’lchovli bo’lsa, funksiya ham o’lchovli bo’ladi.

9.8. Agar funksiya uzluksiz bo’lsa, u holda u o’lchovli funksiya bo’ladi.

9.10. Agar funksiya kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega bo’lsa, u holda funksiya ham o’lchovli bo’ladi.

9.11. Agar funksiya E da o’lchovli bo’lsa, u holda funksiya ham o’lchovli bo’ladi. Bunda va .

9.12. funksiya E to’plamda o’lchovli va bo’lsin. Agar funksiya da uzluksiz bo’lsa, funksiya E da o’lchovli bo’ladi.

9.13. Agar va funksiyalar da o’lchovli bo’lsa, u holda funksiya xam da o’lchovli bo’ladi.

9.14. Agar funksiya da o’lchovli bo’lsa, funksiya ham da o’lchovli bo’ladi.

9.15. Agar funksiya da o’lchovli bo’lsa, funksiya ham da o’lchovli bo’ladi.

9.16. Agar funksiya [0;1] da aniqlangan o’lchovli va deyarli chekli funksiya bo’lsa, u holda shartlarni qanoatlantiruvchi h, H sonlar mavjudligini isbotlang.

10-mashq.

10.1. funksiyalar ketma – ketligi da o’lchov bo’yicha funksiyaga yaqinlashadi. Agar va soni uchun bo’lsa, u holda tengsizlik deyarli barcha uchun bajarilishini isbotlang.

10.2. [0;1] kesmada aniqlangan shunday o’lchovli funksiyalar ketma-ketligi ko’rsatingki, u o’lchov bo’yicha yaqinlashsin, ammo birorta ham nuqtada oddiy ma’noda yaqinlashmasin.

10.3. Agar , bo’lsa, u holda bo’lishini isbotlang.

10.4. Agar va bo’lsa, u holda bo’lishini isbotlang.

10.5. [0;1] segmentdagi barcha ratsional sonlarni nomerlab chiqamiz, – nomerdagi ratsional son (qisqarmas kasr) bo’lib, bo’lsin. U holda bo’lishini ko’rsating va shunday qismiy ketma-ketlik ajratingki, bulsin.

10.6. [0;1] segmentda quyidagicha funksiyalar ketma-ketligi tuzamiz:

. U holda

a) bo’lishini isbotlang.

b) uchun o’rinli bo’lishini isbotlang.

10.7. Agar o’lchovli funksiyalar ketma-ketligi bo’lsa, funksiyalar ham o’lchovli ekanligini isbotlang.

10.8. Agar da o’lchovli funksiyalar ketma-ketligi bo’lsa, to’plam o’lchovli bo’lishini isbotlang.

10.9. – lar chekli o’lchovli to’plamda o’lchovli funksiyalar bo’lib, bo’lsa, u holda bo’lishini isbotlang.

10.10. [0;1] segmentda o’lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan. bo’lishi uchun soni olganda ham bo’lishi zarur va yetarli ekanini isbotlang.

10.11. funksiyalar da o’lchovli funksiyalar bo’lib, deyarli barcha da va bo’lsa, u holda deyarli barcha da bo’lishini isbotlang.

10.12. Agar funksiya o’lchovli bo’lsa, funksiya ham o’lchovli bo’lishini isbotlang.

10.13. Agar ixtiyoriy uchun o’lchovli to’plam bo’lsa, o’lchovli ekanini isbotlang.

10.14. A - Lebeg ma’nosida o’lchovsiz to’plam funksiya o’lchovli bo’ladimi?

10.15. o’lchovli funksiyalar bo’lib, bo’lsa u holda funksiyalar ketma-ketligi o’lchov bo’yicha fundamental bo’ladi, ya’ni , soni uchun son mavjudki, larda tengsizlik o’rinli bo’ladi.