1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

3-misol. Quyidagi funksiyalarning kesmada Lebeg va Riman ma’nosida integrallanuvchiligini tekshiring va agar mavjud bo’lsa, integralni hisoblang.

a) b)

(K - Kantor to’plami)

a) Riman ma’nosida integrallanuvchi emas, chunki u chegaralanmagan. - quyidagi

funksiyaga ekvivalent, chunki

–chegaralangan va faqat bitta nuqtada uzilishga ega, shuning uchun u Riman ma’nosida integrallanuvchi. Lebeg va Riman integrallarini taqqoslash haqidagi teoremaga ko’ra Lebeg ma’nosida ham integrallanuvchi va



~ bo’lganligi uchun ham Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va

b) funksiya ushbu funksiyaga ekvivalent. Haqiqatan ham



–chegaralangan va faqat bitta uzilish nuqtasiga ega. Shuning uchun u Riman ma’nosida(Lebeg ma’nosida ham) integrallanuvchi va



bo’lgani uchun funksiya ham Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va . Lekin Riman ma’nosida integrallanuvchi emas, chunki uning uzilish nuqtalari to’plamining o’lchovi dan kichik emas. Haqiqatan ham, har bir uchun shunday va ketma-ketliklar mavjudki . Lekin . Demak, oraliq funksiyaning uzilish nuqtalari to’plamining qismi bo’ladi.

5-misol. Ushbu integralni mavjudligini ko’rsating va hisoblang.

a) b)

a) funksiyani qaraymiz, ~ chunki . –uzluksiz funksiya va uning Riman xosmas integrali absolyut yaqinlashuvchi, , shuning uchun Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va


b)

chunki . juft funksiya, ya’ni va . Shuning uchun ning da integrallanuvchi bo’lishi uchun uning da integrallanuvchi bo’lishi zarur va yetarli bo’ladi va bo’lganligi uchun ning da integrallanuvchi bo’lishi uchun uning [0,1) va to’plamlarda integrallanuvchi bo’lishi yetarli bo’ladi va

.

Bu to’plamning har birida funksiya Rimanning xosmas ma’nosida integrallanuvchi, shuning uchun Lebeg ma’nosida ham integrallanuvchi:

11-mashq. Quyidagi sodda funksiyalar uchun Lebeg integralini ta’rif bo’yicha hisoblang. Bu yerda K-Kantor to’plami.

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15.

12-mashq. Quyidagi funksiyalar uchun mavjud bo’lsa, uni hisoblang.

12.1.

12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

12.8.

12.9.

12.10.

12.11.

12.12.

12.13.

12.14.

12.15.