1-§. Функция х,осиласининг таърифлари

. .
Ах / Ах \ Ах
2 sin — - cosl х -\— — ) s i n - — -
A y 2 \ 2 / __ ______ 2
Ах Ах Ах
~~2~
COS
(* + -¥ ■ )
Кейинги тенгликда Ах->-0 да лимитга утиб топамиз:
А*
( * + * ) -
sin- „
Ау ,.
2
lim -— = lim— ------ cos
л*—о &х дх-»о Ал:
2
Ал:
sin —
= lim— ------lim cos \ x
-\— — )== 1 - cos x .
4 л—О
AX Дх_*о
2
('+*)■
Демак, y = sin x функциянинг хосиласи:
у ' = cos x.
у = cos x функциянинг хосиласи
у ’ = — sin х
булиши худди шунга ухшаш курсатилади.
Энди у = t g х функциясининг хосиласини топамиз. Бу функция
нинг орттирмаси
>240 .!
1)1булиб,
A y = t g ( x + A x ) — =
s cos(x-|-Ax)
cos*
sin (x-\- A x ) - c o s * — cos (x-\-Ax )-sin x sin Ax
cos(x-fA x) -cos x
cos(x-fA x) -cos x
Ay 1 sin Ax sin Ax
Ax Ax
c o s ( x + A x ) - c o s x
Ax
c o s ( x + A x ) - c o s x
Кейинги тенгликда Дх—>-0 да лимитга утиб топамиз:
,• А у I- sin Ах 1
дх_^0 Ах Ах—о c o s ( x + Ах) -cos X
,. sin Ах .. I I
= l i m — ---------lim-
Дх- 0 Ах дх—о c o s ( x + A x ) - cos х cos2x '
Демак, y = t g x функциянинг хосиласи
COS X
Худди шунга ухшаш y = :c tg x функциянинг хосиласи
у' = — Л -
sin X
булиши курсатилади.
5°. Тескари тригонометрик функцияларнинг хосилалари. Аввало
берилган функцияга нисбатан тескари функциянинг хосиласини
аниклайдиган тасдикни исботсиз келтирамиз.
Айтайлик, y = f ( x) функция (а, Ь) да а н и кл анг ан булиб, у 19- боб
4-§ да келтирилган тескари функциянинг мавжудлиги хакидаги
теореманинг барча шартларини каноатлантирсин. Агар y = f ( x)
функция х нуктада (х 6 (а, b) ) f ' (х) =/=
0 хосилага эга булса, бу
функцияга тескари x = f ' ( y) функция у нуктада (y = f ( x )) хосилага
эга булиб,
< / " ( * » ' = г ~ (4)
булади. Энди г/ = arcsin х функциянинг хосиласини юкорида келти­
рилган коидадан фойдаланиб топамиз.
Ра в ш ан к и , ;/ = a r c s i n x функция x = s i n « / функцияга тескари
функциядир. Унда (4) формулага кура
у'= (arcsin х ) ' = — -Т7 .
у (sm у)
Маълумки,
(sin у ) ' = cos у = д/ 1 — sin 2у = д / 1 — х 2 .
Демак, у = arcsin х функциянинг хосиласи
7 : ,
у'= (arcsin х ) ' =
16—513
www.Orbita.Uz kutubxonasiХудди шунга ухшаш
(arccos х ) ' = -------- ^ = , a r c t g x = — LT , a r c c t g x = — - j - j .
\ \ —х 1+ х ‘+ л
Параграф сунгида элементар функциялар хосилалари учун
топилган формулаларни жамлаб куйидаги жадвални келтирамиз:
Г. у = х ц( х > 0 ) булса, у' — рх 1*-1 булади.
2 °. у = ах ( а > О, а ф 1) булса, у' = а х\ п а булади.
3°. y = \o g ax ( a > 0 , х > 0 , а ф 1), булса у ' — -~logae булади.
4°. y = s i n x булса, у ' — c o s x булади.
5°. у = cos х булса, у ' = — sinx булади.
6°. у = t g x булса, у'= — Ц - булади.
COS X
7°. у = ctg х булса, у '= --------у- булади.
sin х
8 °. y = arcsin х булса, у'— — , 1 булади.
д / 1 - х 2
9°. у = arccos х булса, у' = -------1 булади.
V 1 - х 2
10°. у = a r c t g x булса, у ' = ■- - ■■■
j булади.
11°. у = a r c c t g x булса, у ' = — j ^ булади.
4- §. Х,осила х,исоблашнинг содд а коидалари.
Мураккаб функциянинг х,осиласи
Функция хосиласи таърифидан фойдаланиб икки функция
йигиндиси, айирмаси, купайтмаси хамда нисбатининг хосилаларини
топиш коидаларини келтирамиз.
Фараз килайлик, f(x ) хамда ф(х) функциялар (а, Ь) интервалда
берилган булиб, х нуктада (хб (а, Ь)) } ' ( х ) хам да ф'(х) хосилаларга
эга булсин. У холда хосила таърифига кура
Н т ^ - = П х ) , П т ^ ^ - = ф / (х) . (5)
Дх—0 Д* д,_ 0 4*
2- т е о р е м а. Б ерилган f(x) х1ам да ц>(х) ф ункциялар йигиндиси,
f(x)-\-q> (x) функция, х нуктада уосилага эга ва
242
(f(x)+q>(x))'=f'(x)+(p'(x)Исбот. Д х ) + ф(х) функция орттирмаси Д (Д х) + ф ( х ) ) = Д х +
+ Дх) + ф(х + Дх) — (f(x) -Ьф(лг)) = Д х + Д х ) — f(x) + ф(Дх + х) —
— ф(х) = Д Д х ) Дф(х) булади. Бу тенгликнинг хар икки томонини
Дх га булиб, сунг Дх—>-0 да лимитга утиб топамиз:
Ii m Ml£)±fP<£>>..= Ит Г ' т + Ц п т - Ш - + Ит Ш . .
д*-о Л* u ,n L а *
А х
J и ^„ и _ 0 Л*
Юкоридаги (5) муносабатни эътиборга олиб
\1тЖ М + * М ) = у {х) + ф / (х)
Лдс-*-0
ЬХ
тенгликка келамиз. Бундан эса Д х ) + ф ( х ) функциянинг хосиласи
мавжудлиги хамда
( Дх ) + ф ( х ) ) / = / / (х) + ф ' М
эканлиги келиб чикади. Теорема исбот булди.
Худди шунга ухшаш Д х ) —'ф (х ) функциянинг хосиласи мавжуд
ва
4 (/(-*■) — ф ( * ) ) ' = Г (х) — ф'(х)
булиши курсатилади.
3- т е о р е м а. Берилган f(x) х;амда ц ( х ) ф ункциялар купайтма­