|
Asosiy qism 2.1 Furye qatori haqida tushuncha. Har bir hadi u x a nx b nx n n n ( ) = cos + sin (n = 0,1,2,...) quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan å ¥ = + + 1 0 ( cos sin ) n a an nx bn nx (1.1) funksional qatorni trigonometrik qator deb ataladi. , , , , ,... 0 1 1 2 2 a a b a b sonlar esa trigonometrik qatorning koeffisientlari deyiladi. Bu qatorda asosiy masala ularning koeffisientlarini topishdan iborat (1.1) trigonometrik qatorning qismiy yig’indisi å= = + + n k n k k T x a a kx b kx 1 0 ( ) ( cos sin ) trigonometrik ko’phad deb ataladi. Faraz qilaylik, f(x) funksiya [- p,p ] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx , f(x)sinnx (n=1,2,,…) funksiyalar ham, ikkita integrallanuvchi funksiyalar ko’paytmasi sifatida [-p ,p ] da integrallanuvchi bo’ladi.Bu funksiyalarning integrallarini hisoblab, ularni quyidagicha belgilaylik: ò - = p p p a f (x)dx 1 0 17 ò - = p p p a f x nxdx n ( )cos 1 (n=1,2,….) (1.2) ò - = p p p b f x nxdx n ( )sin 1 (n=1,2,….) Bu sonlardan foydalanib, ushbu å ¥ = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ; ) n an nx bn nx a T f x (1.3) trigonometrik qatorni tuzamiz. Ta’rif: , , , , ,... 0 1 1 2 2 a a b a b koeffisientlari (1.2) formulalar bilan aniqlangan (1.3) trigonometrik qator f(x) funksiyaning Furye qatori deb ataladi. , , , , ,... , ,... 0 1 1 2 2 n n a a b a b a b sonlar esa f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari deyiladi. Ta’rifga asosan: å ¥ = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ ( ; ) n an nx bn nx a f x T f x bo’ladi. Misol .Ushbu ( ) = (-p £ £ p,a ¹ 0) a f x e x x funksiyaning Furye qatori tuzilsin. (1.2) formuladan foydalanib, bu funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: ( ) ò - - = = - = p p a ap ap ap p ap ap a e dx e e sh 1 x 1 2 0 ò - - = + + = = p p p p a a a p p 2 2 1 cos sin cos 1 n nx n nx a e nxdx x n ,( 1,2,3,...) 1 2 ( 1) 2 2 = + = - sh n n n ap a a p 18 ò - - = + - = = p p p p a a a a p p x x n e n nx n nx b e nxdx 2 2 1 sin cos sin 1 ( 1,2,3,...) 1 2 ( 1) 2 2 1 = + = - - sh n n n n ap p a Demak, berilgan funksiyaning Furye qatori +å + = ¥ =1 0 ( cos sin ) 2 ~ n n n x a nx b nx a e a = þ ý ü î í ì - + - +å ¥ =1 2 2 ( cos sin ) ( 1) 2 2 1 n n nx n nx n sh a p a a ap bo’ladi. Faraz qilaylik, biror å ¥ = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a (1.3) trigonometrik (funksional) qator [- p,p ] da yaqinlashuvchi bo’lsin. Uning yig’indisini f(x) deb belgilaylik: ( cos sin ) ( ) 2 1 0 a nx b nx f x a n +å n + n = ¥ = (1.4) Bundan tashqari, (1.3) ni hamda uni coskx va sinkx (k=1,2,…) larga ko’paytirishdan hosil bo’lgan kx a nx kx b nx kx f x kx a n n n cos ( cos cos sin cos ) ( ) cos 2 1 0 +å + = ¥ = , (1.5) å ¥ = + + = 1 0 sin ( cos sin sin sin ) ( )sin 2 n n n kx a nx kx b nx kx f x kx a bu yerda, (k = 1,2,3,...) qatorlarni [- p,p ] da hadlab integrallash mumkin bo’lsin. (1.4) va (1.5) larni [- p,p ] da integrallaymiz: 19 = ú û ù ê ë é = + + ò ò å - ¥ - = a nx b nx dx a f x dx n n n p p p p 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ò å ò ò ¥ - = - - = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + + 1 0 0 cos sin 2 n n n dx a nxdx b nxdx a a p p p p p p p , = ú û ù ê ë é = + + ò ò å - ¥ - = kx a nx kx b nx kx dx a f x kxdx n n n p p p p cos ( cos cos sin cos ) 2 ( ) cos 1 0 ò å ò ò - ¥ = - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + + p p p p p 1 p 0 cos cos cos sin cos 2 n n n kxdx a nx kxdx b nx kxdx a , ò ò å - - ¥ = = ú û ù ê ë é = + + p p p p kx a nx kx b nx kx dx a f x kxdx n n n 1 0 sin ( cos sin sin sin ) 2 ( )sin ò å ò ò ¥ - = - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + + 1 0 sin cos sin sin sin 2 n n n kxdx a nx kx b nx kx a p p p p p p . Agar n ¹ k da [ ] ò ò - - = - - + = p p p p nx kxdx cos(n k)x cos(n k)x dx 2 1 sin sin 0 2 sin( ) sin( ) 1 = ú û ù ê ë é + + - - - = - p n k p n k x n k n k x va ò ò - - = - = p p p p nxdx (1 cos2nx)dx p 2 1 sin 2 , shuningdek, ò ò ò - - - = ¹ = = = p p p p p p cos cos 0( ), cos p , cos sin 0( , 0,1,2,3,...) 2 nx kxdx n k nxdx nx kxdx n k bo’lishini e’tiborga olsak,u holda ò - = p p pa0 f (x)dx , 20 ò - = p p pak f (x) coskxdx (k=1,2,3,…) ò - = p p pbk f (x)sin kxdx (k=1,2,3,…) ekanini topamiz. Bu tengliklardan esa ò - = p p p a f (x)dx 1 0 , ò - = p p p a f x kxdx k ( ) cos 1 , (1.2) ò - = p p p b f x kxdx k ( )sin 1 (k=1,2,3,…) kelib chiqadi. Demak, f(x) funksiya trigonometrik qatorga yoyilgan bo’lsa va bu qator uchun yuqorida aytilgan shartlar bajarilsa, u holda bu trigonometrik qatorning koeffisientlari f(x) funksiya orqali (1.2) formulalar bilan ifodalanadi, ya’ni f(x)ning Furye koeffisientlari bo’ladi. Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari. Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari birmuncha sodda ko’rinishga ega bo’ladi, ya’ni f(x) funksiya [- p,p ]da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu [- p,p ] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx juft funksiya, f(x)sinnx (n=1,2,…) esa toq funksiya bo’ladi va ular [- p,p ]da integrallanuvchi bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: ú = û ù ê ë é = = + ò ò ò - - p p p p p p 0 0 ( ) cos ( )cos 1 ( ) cos 1 a f x nx f x nxdx f x nxdx n 21 ò = p p 0 ( ) cos 2 f x nxdx (n = 0,1,2,...), ú = û ù ê ë é = = + ò ò ò - - p p p p p p 0 0 ( )sin ( )sin 1 ( )sin 1 b f x nxdx f x nxdx f x nxdx n ( )sin ( )sin 0 1 0 0 ú = û ù ê ë é = - + ò ò p p p f x nxdx f x nxdx (n = 1,2,3,...). Demak, juft f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari ò = p p 0 ( ) cos 2 a f x nxdx n (n = 0,1,2,...), = 0 n b (n = 1,2,3,...) (1.6) bo’lib, Furye qatori esa å ¥ = = + 1 0 cos 2 ( ) ~ ( ; ) n an nx a f x T f x bo’ladi. Endi f(x) funksiya [- p,p ]da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu [- p,p ] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda f(x)cosnx toq funksiya, f(x)sinnx (n=1,2,…) esa juft funksiya bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: ú = û ù ê ë é = = + ò ò ò - - p p p p p p 0 0 ( ) cos ( ) cos 1 ( ) cos 1 a f x nxdx f x nxdx f x nxdx n ( ) cos ( ) cos 0 1 0 0 ú = û ù ê ë é = - + ò ò p p p f x nxdx f x nxdx (n = 0,1,2,...), ú = û ù ê ë é = = + ò ò ò - - p p p p p p 0 0 ( )sin ( )sin 1 ( )sin 1 b f x nxdx f x nxdx f x nxdx n f x nxdx ò = p p 0 ( )sin 2 (n = 1,2,3,...). Demak, toq f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari 22 = 0 n a (n = 0,1,2,,...), ò = p p 0 ( )sin 2 b f x nxdx n (n = 1,2,3,...) (1.7) bo’lib, Furye qatori esa å ¥ = = 1 ( ) ~ ( ; ) sin n f x T f x bn nx bo’ladi. Misol. ( ) ( ) 2 f x = x -p £ x £ p funksiyaning Furye qatori yozilsin. (1.6) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: ò = = p p p 0 2 2 0 3 2 2 a x dx , ò ò = = - = p p p p p p 0 0 0 2 2 sin 2 sin 4 cos 2 x nxdx n n nx a x nxdx x n ( 1,2,...) 4 cos ( 1) 4 cos 2 0 0 ú = - = û ù ê ë é ÷ + ø ö ç è æ = - - ò n n nxdx n nx x n n p p p . Bundan, 2 f (x) = x funksiyaning Furye qatori ushbu å ¥ = + - = - - + - 1 2 2 2 2 2 2 ...) 3 cos3 2 cos 2 4(cos 3 cos 4 ( 1) 3 ~ n n x x nx x n x p p ko’rinishida bo’ladi. [-l,l] oraliqda berilgan funksiyaning Furye qatori. Biz yuqorida [- p,p ] oraliqda berilgan funksiya uchun uning Furye qatori tushunchasini kiritdik. Bunday tushunchani ixtiyoriy [l,l] (l>0) oraliqda berilgan funksiya uchun ham kiritish mumkin. f(x) funksiya [l,l] (l>0) da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. 23 x l t p = (1.8) Almashtirish bajaramiz, bu almashtirish [l,l] oraliqni [- p,p ] oraliqqa o’tkazadi. Agar t ( )t l f x f j p ÷ = ø ö ç è æ ( ) = deb olsak, u holda j(t) funksiyani [- p,p ] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu j(t) funksiyaning Furye qatori quyidagicha bo’ladi: ( ) ( ) å( ) ¥ = = + + 1 0 cos sin 2 ~ ; n an nt bn nt a j t T j t , bu yerda a ( )t ntdt n cos 1 ò - = p p j p (n = 0,1,2,...), ( ) ò - = p p j p b t ntdt n sin 1 (n = 1,2,3,...). Yuqoridagi (1.8) tenglikni e’tiborga olsak, u holda å ¥ = ÷ ø ö ç è æ ÷ + + ø ö ç è æ 1 0 cos sin 2 ~ n n n x l x b n l a n a x l p p p j bo’lib, uning koeffisientlari qo’yidagicha: xdx l x n l l a l l n p p j cos 1 ò - ÷ ø ö ç è æ = (n = 0,1,2,...), xdx l x n l l b l l n p p j sin 1 ò - ÷ ø ö ç è æ = (n = 1,2,3,...) bo’ladi. Natijada 24 ( ) å ¥ = ÷ ø ö ç è æ + + 1 0 cos sin 2 ~ n n n l n x b l n x a a f x p p (1.9) ga ega bo’lamiz, bu yerda dx l n x f x l a l l n p ( ) cos 1 ò - = (n = 0,1,2,...), ò - = l l n dx l n x f x l b p ( )sin 1 (n = 1,2,3,...). (1.10) (1.9) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni [-l,l] da berilgan f(x) ning Furye qatori deyiladi, (1.10) Furye koeffisientlari deyiladi. Misol.Ushbu x f (x) = e (-1 £ x £ 1) funksiyaning Furye qatori yozilsin. (1.10) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz (bunda l=1) ò - - = = - 1 1 1 0 a e dx e e x , ò - + - = + + = = 1 1 1 1 2 2 1 sin cos cos x x n e n n n x n x a e n dx p p p p p ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 cos cos 1 1 1 p p p p n e e e n e n n n + - - = - + = - - (n = 1,2,...), ò - + - = + - = = 1 1 1 1 2 2 1 sin cos sin x x n e n n x n n x b e n xdx p p p p p ( ) ( - ) = + + = + = - - e e n n n en n e n n n 1 2 2 1 2 2 1 cos cos cos 1 1 p p p p p p p p ( ) ( ) ( ) p p p p n n e e e e n n n n 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 + - - = - + - = - - + (n = 1,2,3,...) 25 Demak, x f (x) = e funksiyaning (-1 £ x £ 1) Furye qatori ushbu ( ) ( ) ( ) å ¥ = + - - ú û ù ê ë é + - + + - + - - 1 2 2 1 2 2 1 1 sin 1 1 cos 1 1 2 ~ n n n x n n x n n x n e e e e e p p p p p ko’rinishda bo’ladi. 2.2 Furye integrali to’g’risida ma’lumotlar. (-l,l) kesmada aniqlangan f(x) funksiya Dirixle teoramasi shartlarini qanoatlantirsa, u holda å ¥ = ÷ ø ö ç è æ + + 1 0 cos sin 2 n n n l n x b l n x a a p p (2.1) ko’rinishdagi Fur’e qatori vositasida har tomonlama o’rganish mumkinligini ko’rgan edik. (2.1) qator koeffisientlari ò - = l l f x dx l a ( ) 1 0 , ò - = l l n l n x f x l a p ( ) cos 1 va ò - = l l n l n x f x l b p ( )sin 1 , n = 1,2,... (2.2) formulalar bilan hisoblanadi. Dirixle teoremasiga asosan (2.1) qatorning yig’indisi (-l,l) ga tegishli istalgan x uchun ushbu 2 ( 0) ( 0) cos sin 2 1 0 + + - ÷ = ø ö ç è æ +å + ¥ = f x f x l n x b l n x a a n n n p p (2.3) tenglikni qanoatlantiradi. Soddalik uchun dastavval f(x) ni (-l,l) da Dirixle teoremasi shartlarini qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz. U holda (2.3) tenglikning 26 o’ng tomoni istalgan -l £ = 0 , ( ) x lda x ldax f x funksiyaning Furye integrali yozilsin. Y e c h i l i s h i. Bu funksiya toq bo’lgani uchun = ú ú û ù ê ê ë é = = - + ò ò l l l b d d 0 0 0 cos 2 cos 1 sin 2 ( ) hx x h h x hx p x hx x p h 2 2 sin cos h h h h p l - l l = . Endi b(h) ni (2.14) ga qo’ysak, istalgan x uchun ò - = p h h h h h h p 0 2 sin 2 sin cos ( ) x d l l l f x bo’ladi. 30 2.3 Tor tebranish tenglamasi. Asosiy tenglamalarni keltirib chiqarishdan avval matematik analizdan ma’lum bo’lgan n E fazoda soha bo’yicha olingan n o’lchovli integralni sohaning chegarasi bo’yicha olingan (n-1) o’lchovli integral bilan almashtirish imkonini beradigan Gauss –Ostrogradskiy formulasini eslatib o’tamiz. Pi (x) =Pi (x1 ,…,x n ) funksiyalar bo’laklari silliq S sirt bilan chegaralangan W Ès yopiq sohada uzluksiz bo’lib, ularning birinchi tartibli hosilalari W da uzluksiz bo’lsin. Quyidagi Gauss-Ostrogradskiy formulasi o’rinlidir: W ¶ ¶R òå W = d x n i i i 1 = P x v x dS i s n i i ( ) cos( ) 1, 1 òå= Bu yerda cos( , ) i i v = v x lar S sirtga o’tkazilgan tashqi ( ,..., ) 1 n v = v v normalning yo’naltiruvchi kosinuslari. Agar P (x) i funksiyalarni biror P vektorning komponentlari deb hisoblab, uning tashqi normaldagi proyeksiyasini Pvorqali belgilab olsak, u holda å= = n i v i i P P x v x 1 ( ) cos( , ) bo’ladi. å= ¶ ¶ = n i i i x P divP 1 ni e’tiborga olsak, Gauss-Ostrogradskiy formulasi ò ò W W = s v divPd P dS ko’rinishda yoziladi. Agar normal ichki bo’lsa, sirt bo’yicha integral oldida ”-“ ishora bo’ladi. 31 Mehanikaning (tor, sterjen, membrama, uch o’lchovli hajmlarning tebranishlari), fizikaning (elektromagnit tebranishlar) ko’p masalalari ( ) ( , ) 2 2 div pgradu qu F x t t u p = - + ¶ ¶ (3.1) ko’rinishdagi tebranish tenglamalariga olib kelinadi. Bundagi u(x,t) noma’lum funksiya n ta fazoviv koordinatalariga hamda t vaqtga bo’g’liqdir. r ,p,q koeffisientlar tebranish sodir bo’layotgan muhitning hossalari bilan aniqlanadi, ozod had F(x,t)esa tashqi ta’sirning (ya’ni ta’sir qilayotgan tashqi kuchlarning) intensivligini ifodalaydi. (3.1) tenglamada ishtirok etayotgan div va grad operatorlar ta’rifga asosan ( ) ( ) 1 i n i i x u p x div pgradu ¶ ¶ ¶ ¶ = å= . (3.1) tenglamaning keltirib chiqarilishini tor tebranishining misolida ko’rsatamiz.Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushiniladi , boshqacha aytganda tor shunday qattiq jismki, uning uzunligi boshqa o’lchovlaridan anchagina ortiq bo’ladi. Torga ta’sir qilib turgan taranglik kuchi yetarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilgandagina qarshiligini tarangligiga nisbatan hisobga olmasa ham bo’ladi. Ikki nuqta orasida tarang qilib tortilgan torni tekshiramiz. Aniqlik uchun bu Ox o’qida joylashgan bo’lsin .Biz torning tekis ko’ndalang tebranishini tekshiramiz, ya’ni bu shunday tebranishki, tor hamma vaqt bir tekislikda yotadi va torning har bir nuqtasi Ox o’qqa perpendikulyar bo’yicha siljiydi.Bu degan so’z, muvozanat vaqtida x absissaga ega bo’lgan torning nuqtasi tebranish jarayonida ham shu absissaga ega bo’ladi. Bu nuqtaning ordinatasi u vaqt o’tishi bilan o’zgaradi, ya’ni u torning 32 muozanat holatidan siljishidan iborat. Tor tebranishining matematik qonunini topish uchun u ning t vaqtga va x ga qanday bo’g’liqligini, ya’ni u = u(x,t) funksiyani topish kerak. Biz torning faqat kichik tebranishlarini tekshiramiz, ya’ni u(x,t) va x u ¶ ¶ ga nisbatan yuqori tartibli kichiklikdagi ( ,( ) ,...) 2 2 x u u ¶ ¶ miqdorlarni hisobga olmaymiz. Tor egilishga qarshilik ko’rsatmaganligi tufayli, uning t vaqtga x nuqtadagi tarangligi T (x,t) x nuqtada torga o’tkazilgan urinma bo’yicha yo’nalgan bo’ladi. Torning ixtiyoriy ( 1 2 x , x ) qismini olamiz. Bu qism tebranish davrida M1M 2 shaklga keladi. Buning t vaqtdagi yoy uzunligi ò ¶ ¶ = + 2 1 2 1 ( ) x x dx x u l 2 1 » x - x , ya’ni, kichik tebranishlarda tor qismlarining uzunligini cho’zilmaydi va qisqarmaydi. Demak, Guk qonuniga asosan taranglik miqdori T (x,t) x , t ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas bo’lib qoladi, ya’ni 0 T (x,t) = T . Tor tebranishining tenglamasini chiqarish uchun Dalanber prinsipidan foydalanamiz. Bunga asosan, torning ajratilgan qismiga ta’sir qiluvchi barcha kuchlarning yig’indisi nolga teng bo’lishi kerak.Birlik uzunlikda hisoblangan va torga Ou o’qqa parallel ta’sir qiladigan tashqi kuch p(x,t) bo’lsin. M1M 2 qismga ta’sir qiladigan kuch ò 2 1 ( , ) x x p x t dx 33 ga teng bo’ladi. 2 x nuqtadagi taranglikning Ou dagi proeksiyasi sin ( ) 0 2 T a x ga 1 x nuqtadagi esa - sin ( ) 0 1 T a x ga teng bo’ladi. Ushbu x x u u x u tg x tg x x » + = + = 2 2 1 ( ) 1 ( ) sin ( ) a a a formulaga asosan sin ( ) sin ( ) 0 2 0 1 T a x - T a x = = ò ¶ ¶ ú = û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ÷ - ø ö ç è æ ¶ ¶ = = 2 1 2 2 0 2 1 0 x x x x x x dx x u T x u x u T tenglikka ega bo’lamiz. Torning chiziqli zichligi, ya’ni tor kichkina bo’lagi massasining uning uzunligiga bo’lgan nisbatining limiti, r(x)bo’lsin. M nuqta tezligi t u ¶ ¶ , tezlanishi 2 2 t u ¶ ¶ bo’lgani uchun M1M 2 bo’lakning inertsiya kuchi ò ¶ ¶ 2 1 2 2 ( ) x x t u r x ga teng bo’ladi. Dalamber prinsipiga asosan ( , ) ( ) 0 2 1 2 2 2 2 0 ú = û ù ê ë é ¶ ¶ + - ¶ ¶ ò dx t u p x t x x u T x x r tenglikka ega bo’lamiz. 1 2 x , x lar ixtiyoriy bo’lgani uchun ( , ) ( ) 0 2 2 2 2 0 = ¶ ¶ + - ¶ ¶ t u p x t x x u T r (3.2) Bu esa tor kichik ko’ndalang tebranishlarining tenglamasidir. Agar chiziqlik r(x)o’zgarmas bo’lsa, r(x) = r , torning tebranish tenglamasi 34 ( , ) 2 2 2 2 2 f x t x u a t u + ¶ ¶ = ¶ ¶ (3.3) ko’rinishda yoziladi, bunda r 2 T0 a = , r ( , ) ( , ) p x t f x t = .(13) tenglama odatda bir o’lchovli to’lqin tenglamasi ham deyiladi. Torga ta’sir qilayotgan tashqi kuch r(x,t) = 0 bo’lsa torning erkin tebranish tenglamasi 2 2 2 2 2 x u a t u ¶ ¶ = ¶ ¶ (3.4) kelib chiqadi. (3.1) ko’rinishdagi ( ) ( , ) 2 2 F x t x u ES t x u S + ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ r tenglama egiluvchan sterjenning kichik bo’lmasa tebranishlarini ham ifodalamaydi, bunda S(x) –sterjen ko’ndalang kesimining yuzi, E(x)-x nuqtadagi Yung moduli. Xuddi tor tebranish tenglamasiga o’xshash membrananing kichik ko’ndalang tebranishlarining tenglamasi keltirib chiqariladi: ( , , ) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 0 2 p x x t x u x u T t u +÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ r . Agar r = const bo’lsa, membrana tebranish tenglamasi r r p F T F x x t a x u x u a t u + = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ ( , , ), , 2 0 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 (3.5) Ikki o’lchovli to’lqin tenglamasi deyiladi.Uch o’lchovli to’lqin tenglamasi ( , , , ) 2 1 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 F x x x t x u x u x u a t u + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ (3.6) 35 Bir jinsli muhidda tovush tarqalishi va elektr o’tkazmaydigan bir jinsli muhitda elektromagnit to’lqinlari tarqalishini ifodalaydi. (3.6) tenglamani gazning zichligi, bosimi, tezliklarning potensiali hamda elektr va magnit maydonlari kuchlanishlarining tashkil etuvchilari qanoatlantiradi. (3.4), (3.5), (3.6) tenglamalar qisqacha a ( >1=>2 ), D -Laplas operatori 2 2 2 2 2 2 1 2 ... n x x ¶x ¶ + + ¶ ¶ + ¶ ¶ D = Tor yoki sterjen tebranish jarayoning fizik ma’nosidan shu narsa kelib chiqadiki, bu jarayonni bir qiymatli ifodalash uchun qo’shimcha u siljish va u t tezlikning boshlang’ich vaqtdagi qiymaylarini (boshlang’ich shartlar) berish zarur: u ( ) ( ) x t u x t t t t 1 0 0 j , = j ¶ ¶ = = = . bundan tashqari torning chetga nuqtalardagi holatini ham ko’rsatish kerak. Torning tekshirilayotgan 0 £ x £ l qismining ikki cheti mustahkamlangan bo’lsa, izlanayotgan yechim: u x=0 = 0 , u x=l = 0 shartlarni qanoatlantiradi. Agar torning yoki sterjenning chetlari 35 mustahkamlanmay, biror qonun bo’yicha harakatlanayotgan bo’lsa, u f (t) x=0 = 1 , u f (t) x=l = 2 shartlarni berilgan bo’lsin. Agar torning l chetiga berilgan y (t) kuch ta’sir qilayotgan bo’lsa, u holda ( ) T0 t x u x l y = ¶ ¶ = . Haqiqatdan ham, bu holda T T ( )t x u x l » a x l =y ¶ ¶ = = sin 0 0 . Agar sterjenning ikki yoki bir cheti masalan х=l elastik mustahkamlangan bo’lib, a - mustahkamlanganlik qattiqligi koeffisienti bo’lsa, Guk qonuniga asosan ÷ = 0 ø ö ç è æ + ¶ ¶ u x=l x u E a bo’ladi, ya’ni x=l chet siljishi mumkin, ammo mustahkamlanganlikning elaslik kuchlari bu chetda taranglik paydo bo’lishga sabab bo’ladi, bu esa siljigan chetni oldingi holatiga keltirishga intiladi. 37 2.4 Furye integralini tor tebranishida qo’llanilishi. Asosiy aralash masalani tor tebranish tenglamasi uchun yechish. Ma’lumki, bu masala 2 2 2 2 2 x u a t u ¶ ¶ = ¶ ¶ (4.1) tenglamaning u x=0 = 0, u x=l = 0 (4.2) chegaraviy shartlarni, hamda ( ) 0 0 u x t= = j , ( ) 0 1 x t u t = j ¶ ¶ = (4.3) bo’shlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iborat bo’ladi. Biz (4.1) tenglamaning aynan nolga teng bo’lmagan va (4.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini u(x,t) = X (x)T(t) (4.4) ko’rinishda izlaymiz. Biz bu yerda X(x) ni faqat x ga, T(t) ni esa faqat t ga bo’g’liq deb hisoblaymiz. (4.4) ning o’ng tomonini (4.1) tenglamadagi u(x,t) ning o’rniga olib borib qo’yamiz: 38 XT a X T '' 2 '' = yoki X X a T T '' 2 '' = (4.5) Oxirgi tenglikning chap tomoni x ga, o’ng tomoni t ga bo’g’liq emas. Demak, a T T 2 '' yoki X X '' miqdorlarning har biri x ga ham, t ga ham bo’g’liq emas, ya’ni ular o’zgarmas. Bu o’zgarmasni- l orqali belgilab olamiz. U holda, (4.5) ga asosan ( ) ( ) 0 '' 2 T t + a lT t = , (4.6) ( ) ( ) 0 '' X x + lX x = . (4.7) Shunday qilib, (4.5) tenglama ikkita tenglamaga ajraldi, bulardan biri faqat x ga bog’liq funksiyani, ikkinchisi esa faqat t ga bog’liq funksiyani o’z ichiga oldi. (4.4) ko’rinishidagi (4.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo’lmagan u(x,t) yechimni topish uchun (4.7) tenglamaning X(0)=X(l)=0 (4.8) Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topish kerak. Demak,l parametrning shunday qiymatlarini topish kerakki, bu qiymatlarda (4.7) tenglama (4.8) shartlarni qanoatlantiruvchi noldan farqli yechimga ega bo’lsin. Bu masala odatda spektir masalasi yoki Shturm – Liuvill masalasi 39 deyiladi. l ning bunday qiymatlari (4.7), (4.8) masalaning xos qiymatlari (sonlari), bu qiymatlarga mos yechimlar esa hos funksiyalari deyiladi. (4.7) tenglamaning umumiy yechimi l 0 bo’lishiga qarab turli ko’rinishga ega bo’ladi. Shuning uchun ham bu uchta holni alohida – alohida tekshiramiz. 1) l 0 bo’lgan hol. Bu holda (4.7) tenglamaning umumiy yechimi X(x)=C cos l x C sin l x 1 + 2 (4.9) ko’rinishga ega bo’ladi. (4.8) chegaraviy shartlarga binoan C 0 1= , C sin 0 2 ll = Biz C 0 2 ¹ deb hisoblaymiz, aks holda X(x) º 0 bo’lib qoladi. Demak sin ll = 0 bo’lgan holda va faqat shu holdagina, ya’ni ll = pn yoki 2 2 2 l p n l = bo’lganda , bu yerda n- butun son, (4.7), (4.8) masala (4.9) ko’rinishdagi aynan noldan farqli yechimga ega bo’ladi. sinnx va sin(-n)x=-sinnx funksiyalar chiziqli bog’liq bo’lgani uchun n ning 1,2,3,….natural qiymatlari bilan chegaralangan. Demak, biz quyidagi hulosaga keldik: 2 2 2 l n n p l = , n=1,2,3,… sonlar (4.7), (4.8) masalaning hos qiymatlaridir, C x l n n p sin funksiyalar esa, ularga mos hos fuksiyalardir, Cn - noldan farqli ixtiyoriy haqiqiy o’zgarmaslar. Biz quyidagi C = 1 n , n=1,2,….. deb hisoblaymiz . l = ln bo’lganda (4.6) tenglamaning umumiy yechimi T l n at b l n at t a n n n p p ( ) = cos + sin 41 ko’rinishga ega bo’ladi, bunda a n , bn - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Demak, (4.1), (4.2) bir jinsli masala cheksiz ko’p chiziqli bog’liq bo’lmagan u l n x l n at b l n at n x t X x Tn t an n p p p ( , ) ( ) ( ) cos sin ÷sin ø ö ç è æ = = + (4.10) yechimlarga ega bo’ladi. (4.1) tenglama chiziqli va bir jinsli bo’lganligi uchun, (4.10) yechimlarning cheksiz yig’indisi ham yechim bo’ladi. Endi (4.1), (4.2), (4.3) masalani yechimi u(x,t)= l n x l n at b l n at a n n n p p p cos sin sin 1 ÷ ø ö ç è æ å + ¥ = (4.11) qator ko’rinishida izlaymiz. Agar bu qator tekis yaqinlashuvchi bo’lib, uni x va t bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash mumkin bo’lsa, qatorning yig’indisi ham (4.1) tenglamani qanoatlantiradi. (4.11) qatorning har bir hadi (4.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirgani uchun yig’indisi u(x,t) funksiya ham bu shartni qanoatlantiradi. (4.11) qatorning a n va b n koeffisentlarini shunday aniqlashimiz kerakki, qatorning yig’indisi u(x,t) funksiya (4.3) boshlang’ich shartlarni ham qanoatlantirsin. (4.11) qatorni t bo’yicha differensiallaymiz: l n x l n at b l n at a l n a t u n n n p p p p sin cos sin 1 ÷ ø ö ç è æ = - + ¶ ¶ å ¥ = . (4.12) (4.11) va (4.12) da t=0 deb, (4.3) boshlang’ich shartlarga asosan ushbu 42 l n x b l n x x a n n n p p j ( ) sin sin 1 0 å ¥ = = (4.13) tengliklarni hosil qilamiz. (4.13) formulalar berilgan ( ), ( ) 0 1 j x j x funksiyalarning 0 £ x £ l oraliqda sinuslar bo’yicha yoyilgan Fur’e qatoridan iboratdir. (4.13) yoyilmalar koeffisientlari a dx l n x x l l n p j ( )sin 2 0 0 ò = , b dx l n x x n a l n p j p ( )sin 2 1 0 ò = (4.14) formulalar bilan aniqlanadi. Quyidagi teoremani keltiramiz. T e o r e m a: Agar ( ) 0 j x funksiya [0,l] segmentda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, uchinchi tartibli bo’lak-bo’lak uzluksiz xosilaga ega bo’lsa, ( ) 1 j x esa uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, ikkinchi tartibli bo’lakbo’lak uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, hamda (0) ( ) 0 j0 = j0 l = , (0) ( ) 0 j1 = j1 l = , (0) ( ) 0 '' 0 '' j0 = j l = (4.15) Muvofiqlashtirish shartlari bajarilsa, u holda (4.11) qator bilan aniqlangan u(x,t) funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo’lib,(4.1) tenglamani, (4.2) chegaraviy va (4.3) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi. Shu bilan birga (4.11) qatorni x va t bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash mumkin bo’lib, hosil bo’lgan qatorlar ixtiyoriy t da 0 £ x £ l oraliqda absolut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Isbot: Avvalo (4.15) muvofiqlashtirish shartlari qanday kelib chiqishiga 43 to’xtalib o’tamiz. (4.15) ning birinchi ikkita sharti u(x,t) funksiyaning x=0, t=0 va x=0, t=0 nuqtalarda uzluksizligidan (4.2) va (4.3) shartlarga asosan kelib chiqadi. (4.15) ning ikkinchi ikkita sharti esa xuddi shu nuqtalarda t u ¶ ¶ hosilaning uzluksizligidan hosil bo’ladi. Uchinchi juft shartni esa quyidagicha chiqarish mumkin. (4.1) tenglamada t=0 deb, ( ) 0 0 2 2 0 2 - = ¶ ¶ = a x t u n x j tenglikni hosil qilamiz. (4.2) shartlarni differensiallab, 0 2 2 2 0 2 = ¶ ¶ = ¶ ¶ x= x=l t u t u tengliklarga ega bo’lamiz. Bu yerda t=0 deb oldingi tenglikda x=0 va x=l desak, (4.15) ning uchinchi sharti kelib chiqadi. (4.14) formulalardagi integrallarni bo’laklab integrallaymiz. (4.15) shartlarga asosan, quyidagilarni hosil qilamiz: ò = - l n dx l n x x n l a 0 ''' 3 0 2 ( ) cos ( ) 2 p j p , ò = - l n dx l n x x a n l b 0 '' 3 1 2 ( )sin ( ) 2 p j p . Ushbu dx l n x x l l n p a j ( ) cos 2 ''' 0 0 ò = , ò = l o n dx l n x a x l j p b sin 2 ( ) '' 1 belgilarni kiritamiz. U holda 44 3 3 1 n a n n a p ÷ ø ö ç è æ = - , (4.16) 3 3 1 n b n n b p ÷ ø ö ç è æ = - . an va bn miqdorlar ( ) ''' 0 j x va a (x) ''' j1 funksiyalarning Furye koeffisientlaridan iboratdir. Trigonomelrik qatorlar nazariyasidan ma’lumki, å ¥ n=1 n n a , å ¥ n=1 n n b qatorlar yaqinlashuvchi bo’ladi. (4.16) ni (4.11) qatorga olib borib qo’yamiz: l n x l n at l n at n u x t n n n p p b p a p cos sin sin 1 1 ( , ) 1 3 3 å ¥ = ÷ ø ö ç è æ ÷ + ø ö ç è æ = - . Bu qatorlar va uni ikki marta hadlab differensiallash natijasida hosil bo’lgan qatorlar uchun ushbu å ¥ = + 1 3 n n n n С a b , å ¥ = + 1 1 2 n n n n С a b , å ¥ = + 1 2 n n n n C a b , 1 2 3 C ,C ,C - o’zgarmaslar, yaqinlashuvchi qatorlar majaranda qatorlar ro’lini o’ynaydi. Demak,(4.11) qator va uni ikki marta differensiallash natijasida hosil bo’lgan qatorlar absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Bundan (4.11) qatorning yig’indisi u(x,t) funksiya o’zining birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan birga uzlaksiz ekanligi kelib chiqadi. Shu bilan teorema isbot bo’ldi. Agar n An n a = sin j , n An n b = cosj desak, u holda asosiy masalamizning yechimi (4.11) ni 45 å ¥ = ÷ ø ö ç è æ = + 1 ( , ) sin sin n n n l n at l n x u x t A j p p ko’rinishda izlash mumkin. Bu qatorning har bir hadi turg’un to’lqin deb ataladi. Bunda torning har bir nuqtasi bir xil jn fazoli, l n x An p sin amplitudasi va l nat wn = chastotali garmonik tebranish harakatini bajaradi. Ma’lumki, (4.1), (4.2), (4.3) masalaning yechimini berilgan ( ) 0 j x va ( ) 1 j x funksiyalarni (0,l) oraliqdan tashqariga 2l davr bilan toq funksiya yoyilmasidan Dalamber formulasi bilan ifodalash mumkin, ya’ni [ ] ò + - = F - + F + + x at x at s ds a u x t x at x at ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( , ) y (4.17) bu yerda F va y funksiyalar boshlang’ich ( ) 0 j x va ( ) 1 j x funksiyalarning (0;l) oraliqdan tashqariga davomidan iboratdir. F va y funksiyalar 2l davrli bo’lgani uchun ushbu å ¥ = F = 1 ( ) sin n n l n x x A p , å ¥ = = 1 ( ) sin n n l n x x B p y qatorlar bilan ifodalash mumkin. Bu qatorlarni (4.17) formulaga qo’yib, sinus va kosinuslarning yig’indisi va ayirmasi uchun formulalardan foydalansak, quyidagi å ¥ = ÷ ø ö ç è æ = + 1 ( , ) cos sin sin n n n l n x l n at B n a l l n at u x t A p p p p (4.18) qatorni hosil qilamiz. Boshlang’ich shartlar bajarilishi uchun n n n Bn n a a A b p 1 = , = bo’lishini e’tiborga olsak, (4.18) qator (4.11) qator bilan ustma-ust tushadi. 46 Asosiy aralash masala yechimining yagonaligi. (4.1), (4.2) va (4.3) aralash masala bittadan ortiq yechimga ega bo’lmaydi. Bu fikrning to’g’riligiga ishonch hosil qilish uchun ( ) ( ) 0 j0 x º j1 x º , 0 £ x £ l bo’lganda (4.1), (4.2), (4.3) masalaning faqat trivial, ya’ni aynan nolga teng yechimga ega bo’lishini ko’rsatish kifoyadir. To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimini yagonaligidan (4.1), tenglama uchun bir jinsli ( ) 0 , ( ,0) 0, 0 = ¶ ¶ = t= t u x t u x Koshi masalasini yechim uchlari A(0,0), B(l,0), C ÷ ø ö ç è æ 2 , 2 l l nuqtalarda bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchakda aynan nolga teng bo’ladi. Endi, (4.1) tenglamaning AC va AD, bunda D=D(0, 2 l ), kesmalarda nolga teng bo’lgan yechimining barcha ACD uchburchakda nolga teng bo’ladi. (4.1) tenglamani t u ¶ ¶ ga ko’paytiramiz, u holda 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ÷ = ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ + ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ - ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ x u t a t u x u x a t u x t u a t u t u bo’ladi. Ixtiyoriy tayin 2 1 t ,0 < t < ni olib, ACt Dt ,bunda C (t t ) t t = C , , D (0,t ) t Dt uchburchakni hosil qilamiz. Bu uchburchak bo’yicha avvalgi ayniyatni integrallab, Gauss-Ostrogradiskiy formulasini qo’llaymiz. U holda 2 0 2 2 2 2 ÷ = ø ö ç è æ ¶ ¶ ÷ + ø ö ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ò + + dx t u dx x u dt a t u x u a ACt Ct Dt Dt A bo’ladi.Bundan ACt va DAt kesmalarda u=0 bo’lgani uchun 47 ò = ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ÷ + ø ö ç è æ ¶ ¶ Ct Dt dx x u a t u 0 2 2 2 tenglik kelib chiqadi, ya’ni DtCt kesmada 0 ( , ) ( , ) = ¶ ¶ = ¶ ¶ t u x t x u x t . Dt va t C nuqtalarda u=0 bo’lgani uchun, DtCt kesmada u=0. DtCt kesma ACD uchburchakda ixtiyoriy kesma bo’lgani uchun, darhol barcha ACD uchburchakda u(x,t)=0 ekanligi hosil bo’ladi. Xuddi shunga o’xshash BCD1 uchburchakda, bunda ) 2 ( , 1 1 l D = D l ,u(x,t)=0 ekanligi isbotlandi. u(x,t) funksiya 2 l t = , 0 £ x £ l da bir jinsli ( , ) = 0 ¶ ¶ = t u u x t boshlang’ich shartlarni qanoatlantirgani uchun, yuqoridagi mulohazalarni ketmaket qo’llab, barcha 0 £ x £ l ,t ³ 0 da u(x,t)=0 ekanligiga ishonch hosil qilami. Bir jinsli bo’lmagan tor tenglamasi. Bir jinsli, chetlari mustahkamlangan torning tashqi kuch ta’siridagi majburiy tebranishlarini tekshiramiz .Bu masala ushbu ( , ) 2 2 2 2 2 f x t x u a t u + ¶ ¶ = ¶ ¶ (4.19) tenglamaning u x=0 = 0 u x=l = 0 (4.20) chegaraviy va ( ) 0 0 u x t= = j , ( ) 1 x t u t o = j ¶ ¶ = (4.21) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iboratdir.Bu masalaning yechimini 48 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) ko’rinishda izlaymiz, bu yerda v(x,t) (4.19) tenglamaning (4.20) chegaraviy va 0 0, 0 = 0 ¶ ¶ t= = t= t v v (4.22) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi, w esa 2 2 2 2 x W a t W ¶ ¶ = ¶ ¶ (4.23) bir jinsli tenglamaning (4.20) va (4.21) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidir. (4.19), (4.20), (4.21) masalaning yechimini quyidagi qator ko’rinishida izlaymiz: å ¥ = = 1 ( , ) ( )sin n n l n x v x t T t p (4.24) Agar bu qator tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (4.20) chegaraviy shartlar o’z-o’zidan qanoatlanadi. Endi T (t) n funksiyalarni shunday aniqlaymizki, (4.24) qator (4.19) tenglamani va (4.22) boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin. Endi (4.24) qatorni (4.19) tenglamaga qo’yamiz, u holda å[ ] ¥ = + = 1 '' 2 ( ) ( ) sin ( , ) n n n n f x t l n x T t T t p w (4.25) bo’ladi, bu yerda l n a n p w = . f(x,t) funksiyani (0,l) intervalda sinuslar bo’yicha Fur’e qatoriga yoyamiz: å ¥ = = 1 ( , ) ( )sin n n l n x f x t f t p (4.26) bu yerda 49 ò = l n dx l n x f x t l f t 0 ( , )sin 2 ( ) p (4.27) (4.25) va (4.26) yoyilmalarni taqqoslab, T (t) n funksiyani aniqlash uchun o’zgarmas koeffisientli ( ) ( ) ( ) '' 2 T t T t f t n +wn n = n , (n=1,2,…) (4.28) oddiy differensial tenglamani hosil qilamiz. (4.7) qator bilan aniqlangan u(x,t) funksiya (4.21) boshlang’ich shartlarni ham qanoatlantirishi uchun T (t) n funksiyalar T (t) = 0 n , (0) 0 ' Tn = (4.29) shartlarni qanoatlantirishi yetarli bo’ladi. (4.28) tenglamaning (4.29) shartlari qanoatlantiruvchi yechimi ushbu ò = - t n n n Tn t f t d 0 ( )sin ( ) 1 ( ) t w t t w ko’rinishga ega bo’ladi yoki f (t) n o’rniga uning (4.27) ifodasini qo’ysak, quyidagini hosil qilamiz : ò ò = - t l n n n n dx l n x t d f x l T t 0 0 sin ( ) ( , )sin 2 ( ) p w t t t w (4.30) T (t) n funksiyalarning bu qiymatlarini (4.24) ga qo’ygandan so’ng, hosil bo’lgan qator va bu qatorni x va t bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash natijasida hosil bo’lgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (4.7) qator (4.19), (4.20) va (4.22) masalaning yechimidan iborat bo’ladi. Agar uzluksiz f(x,t) funksiya x bo’yicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilaga ega bo’lib, t ning barcha qiymatlarida 50 f(0,t) =0, f(l,t)=0 shart bajarilsa, u holda yuqoridagi qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. U holda (4.19), (4.20) va (4.21) masalaning yechimi ushbu qator bilan ifodalanadi: å å ¥ = ¥ = ÷ ø ö ç è æ = + + 1 1 ( , ) ( )sin cos sin sin n n n n n l n x l n at b l n at a l n x u x t T t p p p p , bu yerda ò = l n dx l n x x l a 0 0 ( )sin 2 p j , ò = l n dx l n x x n a b 0 1 ( )sin 2 p j p . T (x) n koeffisientlar esa (4.30) formulalar bilan aniqlanadi. Agarda torning chetlari mustahkamlanmay, berilgan qonun bo’yicha harakat qilayotgan bo’lsa, u holda uning majburiy tebranishini aniqlash masalasi (4.19) tenglamaning (4.21) boshlang’ich shartlarni va ( ), ( ) 0 1 2 u t u t x= =y x=l =y (4.31) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishga keladi. (4.19), (4.21), (4.31) masalani osonlikcha chegaraviy shartlari bir jinsli bo’lgan masalaga olib kelish uchun, ushbu [ ] l x w(x,t) (t) (t) (t) =y1 + y 2 -y1 yordamchi funksiyani kiritamiz. U holda, ( ), ( ) 0 1 2 w t w t x= =y x=l =y (4.32) (4.19), (4.21), (4.31) masalaning yechimini 51 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (4.33) ko’rinishda qidiramiz, bu yerda v(x,t) –yangi noma’lum funksiya. (4.31) va (4.32) chegaraviy, (4.21) boshlang’ich shartlarga asosan v(x,t) funksiya v x=0 = 0 , v x=l = 0 chegaraviy va [ ] x l x v u w x t 0 t 0 t o 0 1 2 1 0 = = = - = = j ( ) -y (0) - y (0) -y (0) = j , [ ] x l x x t w t u t v t o t t 1 ' 1 ' 2 ' 1 1 0 0 = j ( ) -y (0) - y (0) -y (0) = j ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ = = = boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi. (4.33) ifodani (4.19) tenglamaga qo’yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: ( , ) 2 2 2 2 2 f x t x v a t v + ¶ ¶ = ¶ ¶ , bu yerda [ ] l x f (x,t) f (x,t) (t) (t) (t) '' 1 '' 2 '' = -y1 - y -y . Shunday qilib, u(x,t) funksiyani aniqlash uchun ushbu ( , ) 2 2 2 2 2 f x t x v a t v + ¶ ¶ = ¶ ¶ , 0 = 0, = 0 = = x l x v v , ( ) 0 0 v x t= = j , ( ) 0 1 x t v t = j ¶ ¶ = masalaga keldik. 52 2.5 Furye usulining umumiy sxemasi. Furye usulining faqat tor tebranish tenglamasi uchun emas, balki umumiyroq tenglamalar uchun ham qo’llash mumkin. Biz aralash masalani yechishda Furye usulini, olingan natijalarni qat’iy asoslamasdan bayon qilamiz. Ushbu q x u x u p x t x u (x) ( ) ( ) 2 2 -ú û ù ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ r (5.1) giperbolik tipdagi tenglamani tekshiramiz, bu yerda r(x), p(x), ( ) ' p x va q(x)- uzluksiz funksiyalar, shu bilan birga ( ) 0 p x ³ p0 > , q(x) ³ 0 , ( ) 0 r x ³ r0 > .(5.1) tenglamaning 0 ( , ) (0, ) = ¶ ¶ + x u o t au t b , (5.2) 0 ( , ) ( , ) = ¶ ¶ + x u l t gu l t d . chegaraviy, bunda a , b ,g ,d o’zgarmas sonlar, 0 2 2 a + b ¹ , 0 2 2 g + d ¹ va ( ) 0 0 u x t = j = , ( ) 1 0 x x u t = j ¶ ¶ = (5.3) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Avvalo (5.1) tenglamaning trivial bo’lmagan va (5.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini u(x,t)=X(x) T(t) (5.4) ko’rinishda izlaymiz. Agar bunday yechim mavjud bo’lsa, uni (5.1) tenglamaga qo’yib, X(x) va T(t) funksiyalar qanoatlantirishi zarur bo’lgan tenglamani hosil qilamiz: 53 ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' p x X x q x X x T t x X x T t dx d T t - = r yoki [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' T t T t x X x p x X x q x X x dx d = - r Bu tenglikning chap tomoni faqat x ga, o’ng tomoni esa faqat t ga bog’liq bo’lgani uchun, bu tenglik o’zgarmas songa teng bo’lgandagina o’rinli bo’ladi. U o’zgarmas sonni - l orqali belgilab olamiz. U holda noma’lum X(x) va T(t) funksiyalarni aniqlash uchun ikkita oddiy differensial tenglama hosil qilamiz: ( ) ( ) 0 '' T t + lT t = (5.5) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) 0 '' p x X x + x - q x X x = dx d lr (5.6) (5.1) tenglamaning (5.2) shartlarni qanoatlantiruvchi (5.4) ko’rinishdagi trivial bo’lmagan yechimini topish uchun X(x) funksiya (0) (0) 0 ' aX + bX = , ( ) ( ) 0 ' gX l + dX l = (5.7) shartlarni qanoatlantirishi kerak. Shunday qilib, xos qiymatlar to’g’risidagi quyidagi masalaga keldik: l parametrning shunday qiymatlarini topish kerakki, bu qiymatlarda (5.6) tenglamaning (5.7) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo’lmagan yechimi mavjud bo’lsin. (5.6), (5.7) masalaning trivial bo’lmagan yechimlari mavjud bo’lgan l ning qiymatlari xos qiymatlar (sonlar), bu qiymatlarga mos yechimlar esa xos funksiyalar deyiladi. Barcha xos qiymatlar to’plamini berilgan masalaning spektri 54 deb ataladi. (5.6), (5.7) masala xos funksiyalari va xos qiymatlarining asosiy xossalarini keltiramiz. 1) Masala xos qiymatlarining cheksiz ... ... l1 < l2 < < ln to’plami mavjuddir. 2) Har bir xos lk qiymatga o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida X (x) k xos funksiya mos keladi, ya’ni lk ga ikkita X (x) k va X (x) k xos funksiyalar mos kelsa, u holda X (x) C X k (x) k = bo’ladi, bu yerda C-o’zgarmas son. Haqiqatdan ham X (x) k va X k (x) funksiyalar farazimizga asosan (0) (0) 0 ' aXk + bXk = , (0) (0) 0 ' a X k + b X k = . va 0 2 2 a + b ¹ shartlarni qanoatlantiradi, u holda (5.6) tenglama X (x) k va X k (x) yechimlarining Bronskiy determinanti ' k k X X ' k k X X x=0 nuqtada nolga teng bo’ladi. Demak, X (x) k va X k funksiyalar chiziqli bo’g’liq. Yuqorida aytib o’tilgan ko’paytuvchini shunday tanlab olamizki, ò = 1 0 2 r(x)X k (x)dx 1 (5.8) (5.8) shartni qanoatlantiruvchi xos funksiyalar normallangan deyiladi. 55 3) Turli xos qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar [0,l] kesmada r(x)vazn bilan ortogonal bo’ladi, ya’ni ò = l x Xk x X m x dx 0 r( ) ( ) ( ) 0 (k ¹ m) (5.9) bo’ladi . Haqiqatdan ham, X (x) k va X (x) m funksiyalar lk , lm xos qiymatlarga mos xos funksiyalar bo’lgani uchun (5.6) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) 0 ' p x X x + x - q x X x = dx d k lk r k , [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) 0 ' p x X x + x - q x X x = dx d m lm r m . bo’ladi. Bu tenglamalarning birinchisini X (x) m ga ,ikkinchisini esa X (x) k ga ko’paytirib, hadlab ayiramiz: [ ( ) ( )]- ( ) [ ( ) ( )]+ ' ' p x X x dx d p x X x X x dx d X m k k m + ( - ) (x)X (x)X (x) = 0 lk lm r k m , yoki (lk - lm )r(x)Xk (x)X m (x) = { ( )[ ( ) ( ) ( ) ]} 0 ' ' = p x X m x Xk x - Xk x X m = dx d bu tenglikni x bo’yicha 0 dan l gacha integrallaymiz: [ ] x l x m k k m p x X x X x X x X x = = - 0 ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . (5.7) chegaraviy shartlarga binoan, o’ng tomondagi ifoda nolga teng, u holda ( ) ò - = l m k x Xk x X m x dx 0 l l r( ) ( ) ( ) 0. 56 bo’ladi. Bundan lm ¹ lk bo’lgani uchun ò = l x Xk x X m x dx 0 r( ) ( ) ( ) 0 . bo’ladi. 4) q ³ 0 bo’lganda barcha lk xos qiymatlar musbat bo’ladi. Bu xossani isbotlash uchun lk ga mos X (x) k xos funksiyani normallangan deb hisoblaymiz. X (x) k xos funksiya bo’lgani uchun [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ' p x X x q x X x x X x dx d k - k = -lk r k . bo’ladi. Bu tenglikning har ikki tomonini X (x) k ga ko’paytirib, 0 dan l gacha integrallaymiz. (5.8) tenglikni e’tiborga olsak, u holda [ ] ò þ ý ü î í ì = - - l k p x Xk x q x X k x Xk x dx dx d 0 ' l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . bo’ladi. Bundan, birinchi qo’shiluvchini bo’laklab integrallab, ushbu [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] ' 0 '2 2 p x X x q x X x dx p x X x X x k k l k = k + k - ò l x l x = =0 (5.10) tenglikka ega bo’lamiz. Integral tashqarisidagi ifoda musbat bo’lmasin, ya’ni [ ( ) ( ) ( )] ' p x X x X x k k 0 0 £ = = x l x (5.11) deb faraz qilamiz. Shart bo’yicha ( ) 0 p x ³ p0 > , q(x) ³ 0 bo’lgani uchun (5.10) tenglikdan darhol (5.6), (5.7) masala xos qiymatlarini musbat ekanligi kelib 57 chiqadi. (5.11) shart tatbiqda eng ko’p uchraydigan 1) X(0)=0, X(l)=0; 2) (0) 0 ' X = , ( ) 0 ' X l = ; 3) (0) (0) 0 1 ' X - h X = , ( ) ( ) 0 2 ' X l + h X l = , 0 h1 ³ , 0 h2 ³ chegaraviy shartlarda bajariladi. (5.6) va (5.7) masala xos qiymatlari va xos funksiyalarining ayrim xossalarini aniqlab olganimizdan so’ng, endi (5.5) tenglamaga murojaat qilamiz. Biz tenglamaning l = ln bo’lgandagi umumiy yechimi, uni T (t) n orqali belgilab olsak, T t a t b t n n ln n ln ( ) = cos + sin ko’rinishga ega bo’ladi, bunda n a va n b o’zgarmas sonlar. Shunday qilib, (5.4) ga asosan har bir u (x,t) X (x)T (t) (a cos t b sin t)X (x) n = n n = n ln + n ln n funksiya (5.1) tenglamaning (5.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat bo’ladi. (5.3) boshlang’ich shartlarni qanoatlantirish uchun, ushbu ( , ) ( cos sin ) ( ) 1 u x t a t b t X x n n å n n n n ¥ = = l + l (5.12) qatorni tuzamiz. Agar bu qator va uni x, t bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash natijasida hosil bo’lgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda, ravshanki uning yig’indisi (5.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi (5.1) tenglamaning yechimi bo’ladi. (5.3) boshlang’ich shartlarning bajarilishi uchun 58 å ¥ = = = = 1 0 0 ( ) ( ) n t n n u j x a X x , (5.13) å ¥ = = = = ¶ ¶ 1 0 1 ( ) ( ) n t n n n x b X x t u j l (5.14) tengliklarning bajarilishi zarurdir. Shunday qilib, biz ixtiyoriy funksiyani (5.6), (5.7) chegaraviy masalaning X (x) n xos funksiyalari bo’yicha qatorga yoyish masalasiga keldik. Faraz qilaylik, ixtiyoriy j(x) funksiya (5.6), (5.7) chegaraviy masalaning X (x) n xos funksiyalar bo’yicha å ¥ = = 1 ( ) ( ) n n n j x A X x (5.15) qator ko’rinishda ifodalanadigan bo’lsin.(5.15) qatorni tekis yaqinlashuvchi deb hisoblab, uning An koeffisientlarini aniqlashimiz mumkin. Buning uchun (5.15) tenglikning har ikki tomonini r(x) X (x) n ga ko’paytirib, so’ngra x bo’yicha 0 dan l gacha oraliqda integrallaymiz. U holda (5.8) va (5.9) ga asosan ò = l An x x Xn x dx 0 r( )j( ) ( ) . (5.16) T e o r e m a.(V.A.Steklov).Ixtiyoriy birinchi tartibli uzluksiz, ikkinchi tartibli bo’lak-bo’lak uzluksiz hosilaga ega, (5.7) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi j(x) funksiya (5.6), (5.7) chegaraviy masalaning xos funksiyalari bo’yicha absolyut va tekis yaqinlashuvchi (5.15) qatorga yoyiladi. (5.13) va (5.14) yoyilmalarning koeffisientlarini topish uchun (5.16) formulani qo’llaymiz. U holda 59 ò = l an x x Xn x dx 0 0 r( )j ( ) ( ) , ò = l n k n b x x X x dx 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 r j l . Agar (5.12) qator va uni x, t bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash natijasida hosil bo’lgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, n a va n b koeffisientlarning topilgan qiymatlarini (5.12) qatorga qo’yib (5.1), (5.2), (5.3) aralash masalaning yechimini topamiz. 60 XULOSA Mening Bitiruv Malakaviy ishim mavzusi «Fur’e integralini tor tebranishida qo’llanilishi» deb nomlanadi. Bitiruv malakaviy ish kirish, asosiy qism, foydalanilgan adabiyotlar va internet ma’lumotlari ro`yxatidan iborat. Ushbu bitiruv malakaviy ishining kirish qismida Prezidentimiz I.A.Karimovning mamlakatimizda ilm-fanning rivojlantirish uchun qanday sa’y- harakatlar qilinishi kerakligi haqidagi fikrlaridan iboratdir va hayot faoliyati xavfsizligiga doir fikr mulohazalar o`rin olgan. Asosiy qism esa 5 ta paragrafdan iborat 1- § da Furye qatorining asosiy tushunchalari haqida ma’lumot berilgan. 2- § da Furye integrali haqidagi tushunchalar keltirilgan bo`lib, juft va toq funksiyalarning Furye integrali tushunchalari ko`rsatib o`tilgan. 3- § da Tor tebranishining tenglamasi o`rganilgan va tahlili berilgan. 4- § da Furye integralini tor tebranishida qo’llanilishi tadbiqi keltirilgan. 5- § da Furye usulining umumiy sxemasi to’g’risida ma’lumot berilgan. Men bitiruv malakaviy ishimni bajarish jarayonida Furye integralini tor tebranishida qo’llanilishini o`rganib chiqdim. Men, bu nazariyani o`rganish jarayonida juda ko`p tushunchalarga ega bo`ldim. Shu bilan birga murakkab matematik tushunchalarni tabiatdagi ba’zi ma’nolariga tushunib yetdim. Shuning uchun ham bu mavzu qiziqarli va muhim deb hisoblayman. 61 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 1. Узбекистон Республикаси Вазирлар Махкамасининг “Таьлим тугрисидагa”ги вa “Kaдрлар тайерлаш дастурида” ги конуни 1997 – йил, 29 – aвгуст. 2. I.A. Karimov “Barkamol avlod orzusi” Toshkent – 2000 yil. 3. I.A. Karimov “Inson baxt uchun tug`iladi” , “Sharq” – T. 2001 4.I.A. Karimov “Yuksak ma`naviyat – yengilmas kuch”. Toshkent “ Ma`naviyat” 2005. 5.I.A. Karimov “Jahon moliyaviy – iqtisodiy inqirozi, O`zbekiston sharoitida uni bartaraf etishning yo`llari va choralari” – T: O`zbekiston, 2009 yil. 6. I.A. Karimov “Mamalakatimizda demokratik islohotlarni yanada chuqurlashtirish va fuqorolik jamiyatini rivojlantirish konsepsiyasi” – T: O`zbekiston, 2010 yil. 7. I.A.Karimov “Mamlakatimizni modernizatsiya qilish va kuchli fuqorolik jamiyati barpo etish-ustuvor maqsadimiz”. “Xalq so`zi” gazetasi 2010 yil. 27 yanvar. 8. I.A. Karimov “Mamlakatimizni modernizatsiya qilish yo`lini izchil davomi – taraqqiyotimizning muhim omilidir” , “Ishonch” gazetasi; 2010 yil 8 – dekabr. 9. I.A. Karimov “Barcha reja va dasturlarimiz vatanimiz taraqqiyotini yuksaltirish, xalqimiz farovonligini oshirishga xizmat qiladi” , “Xalq so`zi” gazetasi, 2011 yil 22 – yanvar. 10. I.A. Karimov “XXI asr bo`sida”, 2011 yil 11. I.A. Karimov “Barkamol avlod O`zbekiston poydevori” , 2011 yil 22 – 62 yanvar. 12. M. Салохиддинов “Maтематик физика тенгламалари” , T: Узбекистон 2002. 13. M.C. Салохиддинов, Г’. Н. Насритдинов “Oддий дифференсиал тенгламалар”. Т: Узбекистон 1994. 14. T. Aзларов, H. Maнсуров “Maтематик анализ” 2-кисм. T: Укитувчи 1989. 15. Й. У. Соатов “Oлий математика”. T: Узбекистон 1996 16. Понтрячен “Обыкновенние дифференциальные уравнения”. М: Наука, 1969. 17. Степанов “Курс дифференциальных уравнений”. М: Гиз ФизикаМатематика литература, 1958. 18. Эльгольц Л. Е. “Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление”. М: Наука, 1965. 19. Филинпов А. Ф. Cборник задач по дифференциальным уравнениям”. М: Наука, 1979ю 20. В. A. Илик, В. A. Садовничев, B. X. Cедов “Матемачиский анализ”. M: 1979. 63
Do'stlaringiz bilan baham: |
