1-§. Функция х,осиласининг таърифлари

J J A J L ) \ , Д \ (А , . . / ( А)
lim
ijm — ^
Ac—о Лх Лх-о ф ( х + Л х ) - ф ( х )
Д/(х) Дф(х)
lim
------ф (*) —/( а) • l i m — £-------
и-»0 Д х
Ах-*о
lim ф ( х + Л х) ф( х)
Ах-*-П
Юкоридаги (5) муносабатни хамда
\\т ц { х -\-А х ) = ф (х)
л.«—о
тенгликни эътиборга олиб топамиз:
/ f(*)
)
l j m Ч ф(*) / __ /'(х )ф (х ) —
f(x)(f'(x)
\Jr—*-0 А* ф2 (х)
Бундам эса у-^'г функциянинг хосиласи мавжудлиги хамда
1
( !(х) V _ Г(х)ф(х) —Дх)ф'(х)
. \Ф(Х)/ ф 2(л;)
эканлиги келиб чикади. Теорема исбот булди.
Юкорида келтирилган теоремалар икки функция йигиндиси,
айирмаси, купайтмаси хамда ннсбатининг хосилаларини топиш
коидаларини ифодалайди. Бу коидалардан фойдаланиб функция
хосилаларини тогшшга мисоллар келтирамиз.
244Мисоллар. 1. У ш б у
у = х2 х 3
функциянинг хосиласини топинг.
Бу функциянинг хосиласини топишда 2- теоремадан хамда
хосилалар жадвалидан фойдаланамиз:
у ' = (x2- + x3) ' = (x2) ' - f (х3) ' = 2х + Зх2 = х ( 2 - |- З х )
2. Ушбу у = х 21п х функциянинг хосиласини топинг.
3- теоремага кура:
у ' = (х 2\п х ) '= (х2) ' 1п х + х 2( 1п х)'.
Агар (х2) ' = 2х, (In х ) '= = - | эканини эътиборга олсак, унда у' =
= 2х l n x + x = x (2 In х -j- 1) булишини топамиз.
х2
3. Ушбу у =
-------- функциянинг хосиласини топинг.
1 +хГ
4 -теоремадан хамда хосилалар жадвалидан фойдаланамиз.
(х2)'-1\+х2) - х 2( 1 + х 2)'
2х (1 + х2) — 2хл 2х
(1+ х 2)2 (1+ х 2)2 '
Энди мураккаб функция хосиласини топиш коидасини келтира-
миз.
Фараз килайлик, и = ср(х) функция (а, Ь) интервалда, y = f ( u)
функция эса (с, d ) интервалда ани кл анг ан булиб, бу фун кциял ар
ёрдамида
У = /( фМ).
мураккаб функция тузилган булсин.
Б - т е о р е м а. А гар и = <р(х) функция х нуктада (х£(а, Ь))
с
р '(х ) цосилага эга булиб, y = f(u) ф ункция эса х нукт ага м ос