1-§. Функция х,осиласининг таърифлари

ОР
ташкил этган бурчаги а булса, у холда A M qQ P дан = tg a бу
маР
лишини топамиз. Кейинги тенгликдан эса Q P = t g a - M o P — i g а - А х
келиб чикади. Агар t g a = = / ' ( x 0) булишини эътиборга олсак, унда
QP = f ' ( x о)Дх тенгликка келамиз. Демак,
QP = df(x о).
1глик, геометрик нуктаи-назардан f(x) функциянинг нуктадаги
ренциали шу функция графигига Ж 0(х0, / ( х 0)) нуктада
лган уринма орттирмаси Q P ни ифодалашини курсатади.и* , * > 0 ) булса, d y = [ix'1
1d x булади;
2". ч - а х( а > 0 , а ф 1) булса, d y = ax\na d x булади;
Л
y= z\o g ax ( x > 0 , а > 0, а ф 1) булса, dt/ = ^-logae rfx булади;
4°. t/ = s i n x булса, d y = c o s x d x булади;
Г>°. у = cos х булса, d y = — sin х dx булади;
б°- l- j- d x булади;
* COS X
7°. y = c t g x булса, d y = -------~ ~ d x булади;
sin x
8 °. (/ = arcsin x булса, d y = — . 1
d x булади;
V 1 - x 2
9°. y = a r c c o s x булса, d y = --------Ц г й х булади;
l
10°. y = a r c t g x булса, d y = — —j d x булади;
I + x
11°. y = a r c c t g x булса, d y = ------- —2d x булади;
1
-\-x
12°. y = sh x булса, d y = c h x d x булади;
13°. y = ch x булса, d y = s h x d x булади.
Фараз килайлик, f(x) ва ф ( х ) функциялар (a, b) интервалда
берилган булиб, * 6 (a, b ) нуктада диф фер енц иал лан увчи ‘булсин.
У Холда f(x)±:q(x), f(x) •ф (х), хамда /(- ' ) (ф(л:)=^0) функция
ф (X)
лар хам шу х нуктада дифференциалланувчи ва
d[ (f ( x) ± ф (x)] = d f ( x ) ± d y ( x ) ,
d[f(x) -ф(л;)] = ф (x)df(x) +f(x)dq>(x),
булади.
by гасдикларнинг исботи хосилани хисоблашдаги содда коидалар
хамда юкоридаги (7) формуладан бевосита келиб чикади.
Мисолла р. 1. Ушбу у = аг’ — 3* функциянинг дифференциалини
топинг.
Бу функция .....и- дифференциали куйидагича топилади:
d y d (х' — 3х) = d x 3- d 3 x = ( x3) ' d x — (3 X) ' d x =
= 3 x 'd x — Зл I пЗ^л: = (З х2 — 3x\n 3 )d x .
249
www.Orbita.Uz kutubxonas
Агар f(x)=x булса, f'(x) = 1 булади. Унда бир томондан
(7) формулага кура d f ( x ) = f ' ( x ) А х = Ах, иккинчи томондан эса
df(x) = d x булиб, Ax = d x булади. Натижада функция дифференциа­
ли учун d f (х) =f ' (x )dx ифодани топамиз. Бу муносабатдан хамда
Хосилалар жадвалидан фойдаланиб функцияларнинг дифференци-
аллари учун ушбу формулаларга келамиз:2. Ушбу
х .
. 3
у = cos —+ sin —
функциянинг дифференциалини топинг:
d y = d (c o s Y + sin -^ j= ^ c 0s y + s i n y y d x =
= [-sin r (1),+С0Нг ( 7 У У Х= - (lsini+^cosl)^ •
Функциянинг дифференциалидан унинг кийматларини такрибий
хисоблашда фойдаланилади. Такрибий хисоблаш формуласи куйида-
ги содда теоремадан келиб чикади.
7- т е о р е м а. А гар y=f(x) функция (а , Ь) да берилган булиб,