Лекция 9 Тема Линии второго порядка. Общее уравнение Определение. Уравнение с двумя переменными вида Ax

ЛЕКЦИЯ 9


Тема Линии второго порядка.


§1. Общее уравнение
Определение. Уравнение с двумя переменными вида
Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0 (1)
называется уравнением второй степени, а линия, которую оно определяет – линией второго порядка (если только хотя бы один из старших коэффициентов A, B или C отличен от нуля).
При некоторых значениях коэффициентов уравнение (1) определяет так называемые вырожденные линии второго порядка: уравнение x²+y²=0 определяет одну точку O(0;0); уравнение x²+2y²+1=0 не определяет никакого геометрического образа; уравнения x²–y²=0 и x²–1=0 определяют пары прямых (пересекающихся и параллельных).
Если исключить из рассмотрения вырожденные линии, то собственно кривая второго порядка может быть одной из четырех типов: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Поворотом системы координат на некоторый угол (он определяется как решение уравнения (B–A)sin2α+Ccos2α=0), можно исключить из уравнения (1) член, содержащий произведение переменных. В дальнейшем будем считать, что такой поворот уже выполнен, т.е. в уравнении (1) коэффициент С=0. Тогда вид кривой определяется по коэффициентам A и B следующим образом:

1. 
   A=B – уравнение (1) определяет окружность (или пустое множество, или единственную точку);
   
2. 
   A∙B>0 (т.е. A и B одного знака) – уравнение определяет эллипс (или пустое множество, или точку);
   
3. 
   A∙B<0 (т.е. A и B различного знака) – уравнение определяет гиперболу (или пару пересекающихся прямых);
   
4. 
   A∙B=0 (в уравнении отсутствует квадрат одной из переменных) – уравнение определяет параболу (или пару параллельных прямых).
   

Путем выделения полных квадратов уравнение (1) можно привести к нормальной форме:
A(x–x₀)²+B(y–y₀)²+G=0 в случаях 1), 2), 3);
A(x–x₀)²+E(y–y₀)=0 или
B(y–y₀)²+D(x–x₀)=0 в случае 4).
Перенося начало системы координат в точку (x₀,y₀), получим канонические уравнения кривых второго порядка.