Гипербола. Парабола ва уларнинг хоссалари

Skachat.uz

Гипербола. Парабола ва уларнинг хоссалари

Режа:
1. Гипербола.

2. Гиперболанинг хоссалари.

3. Парабола.

4. Параболанинг хоссалари

Текисликда F₁ (a₁,в₁ ) ва F₂ (a₂, в₂) нуқталар берилган бўлсин. Бу текисликда F₁ ва F₂ нуқталаргача бўлган масофалар айрмасининг абсолют қиймати ўзгармас бўлган нўқталарни қарайлик. Бундай нуқталарни геометрик ўрни гипербола дейилади. Бундай F₁ ва F₂ гипербола фонуслари дейилади.

Демак, гиперболадаги ихтиёрий М (х, у) нуқтадан F₁ ва F₂ гача бўлган масофалар айрмаларини абсолют қиймати ўзгармас сонга тенг. Бу ўзгармас сонни 2а билан белгилаймиз.

Гипербола тенгламасини хосил қилиш учун декарт координаталари системасида F₁ ва F₂ нуқталарни Ох ўқи бўйлаб координата бошига нисбатан симметрик бўлган С масофада жойлаштирайлик. Икки нуқта орасидаги масофа формуласига кўра

бўлади. Бу тенгликдан топамиз

Кейинги тенгликни ҳар икки томонини квадратга ошириш натижасида

(1)

Тенгликка келамиз с>a бўлгани учун с²-а² айирма мусбат бўлади. Уни в² билан белгилаймиз. У ҳолда (1) тенглама

(2)

кўринишга келади. Бу тенгкилнинг ҳар икки томони а²в² га бўлиб топамиз:

(3)

Одатда (3) гиперболанинг каноник тенгламаси дейилади. Гипербола тенгламасида у=0 дейилса, бўлиши келиб чиқади. Бу эса гипербола Ох ўқини А (а, 0),

А₁(-а, 0) нўқталарда кесишини билдиради. (3) тенгламада х=0 дейилса, у²=-в² бўлади. Бу эса гепербола Оу ўқи билан кесишмаслигини билдиради.

А (а, с) ва А₁(-а, 0) нуқталар гиперболанинг учлари, АА₁ кесма эса унинг ҳақиқий ўқи дейилади.
Ушбу нисбат билан аниқланадиган миқдор гиперболанинг эксцентристети дейилади. Худди эллипсдаги ўхшаш бу ерда ҳам гипербола эксцентриситети унинг шаклини аниқлаб беради. с>a бўлгани учун >1 тенгсизлик ўринлидир.