Лекция №7. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат

Лекция №7. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.

1. 
   Каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики.
   
2. 
   Каноническое уравнение эллипса и его характеристики.
   
3. 
   Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики.
   
4. 
   Каноническое уравнение параболы и ее характеристики.
   

1. Каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики
Кривые второго порядка описываются уравнениями второй степени с двумя переменными

если по крайней мере одна из величин не равна нулю.
Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Если радиус окружности, а точка её центр, то уравнение окружности имеет вид

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение примет вид


Рис. 11
Окружность с центром в начале координат
Взаимное расположение точки и окружности определяется условиями:

1. 
   если то точка лежит на окружности;
   
2. 
   если то точка лежит внутри окружности;
   
3. 
   если то точка лежит вне окружности.
   

Рассмотрим пример. Найти координаты центра и радиус окружности
Приведем уравнение окружности к общему виду. Для этого сгруппируем слагаемые, содержащие переменную и слагаемые, содержащие переменную

Выражения в каждой из скобок разложим до полного квадрата







Таким образом, определяем координаты центра окружности и ее радиус