Дифференциальные уравнения с частными производными Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальные уравнения с частными производными

Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

1. Введение
Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Из этого соотношения следует, что значение функции u(x,y) не зависит от x. Следовательно, общее решение уравнения следующее:

где f — произвольная функция переменной y. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

и его решение

где c — произвольная константа (не зависящая от x). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит неизвестные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция f(y)) определяется единственным образом, если u определена на линии x = 0.

2. История
Первые систематические исследования уравнений в частных производных начал проводить знаменитый французский математик Жан Фурье. Он применил новый метод к решению уравнения струны — метод разделения переменных, позднее получивший его имя.

Классификация
Размерность
Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).
Линейность
Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями.
Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).