Дифференциальные уравнения с частными производными Дифференциальное уравнение в частных производных

Гиперболический тип может быть расклассифицирован на:

1. 
   Нормальный гиперболический тип, если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
   
2. 
   Ультрагиперболический тип, если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
   

Параболический тип может быть расклассифицирован на:

Эллиптически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
Гиперболически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
Нормальный гиперболически-параболический тип
Ультрагиперболически-параболический тип
Ультрапараболический тип, если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

4. Существование и единственность решения
Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение^[2]. Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.
Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n) для уравнения Лапласа:

с начальными условиями:


где n — целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно π для любого ненулевого значения y. Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.