Дифференциальные уравнения с частными производными Дифференциальное уравнение в частных производных

Связь с аналитическими функциями
Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции f комплексной переменной z = x + iy являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f=u+iv, то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи
Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u, которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S, а на границе области  — некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие кравевые задачи:

• 
  — задача Дирихле
  
• 
  — задача Неймана
  

7. Решение уравнений математической физики
Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

• 
  аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
  
• 
  численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и, поэтому, выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).
  

Уравнение колебаний
Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины L. Будем считать, что на концах струны функция u(x,t) обращается в ноль:

В начальный момент времени зададим начальные условия:


Представим решение в виде:

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение X(x)T(t) получаем:

Правая часть этого уравнения зависит от t, левая — от x, следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через − λ²:

Отсюда находим уравнение для X(x):

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при  и имеют вид:

Рассмотрим уравнение для отыскания T(t):

Его решение:

Следовательно, каждая функция вида

является решением волнового уравнения.
Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

Подстановка в начальные условия даёт:

Последние формулы представляют собой разложение функций f(x) и g(x) в ряд Фурье на отрезке [0,L]. Коэффициенты разложений вычисляются по формулам: