Дифференциальные уравнения с частными производными Дифференциальное уравнение в частных производных

Однородность
Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.
Порядок
Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.
Классификация уравнений второго порядка
Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.
Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A, B, C — коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка:  и  . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта D = B² − AC, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

1. 
   — Гиперболическое уравнение,
   
2. 
   — Эллиптическое уравнение,
   
3. 
   — Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).
   

В случае, когда все коэффициенты A, B, C — постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициенты A, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых — эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения.
В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

оно также может быть расклассифицирована^[1] (в заданной точке  ), по аналогии с соответствующей квадратичной формой:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов λ_i в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке M₀) рассматриваемого уравнения:

1. 
   Если в точке M₀ квадратичная форма в каноническом виде имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение в этой точке называется уравнением эллиптического типа.
   
2. 
   Если точке M₀ квадратичная форма в каноническом виде имеет коэффициенты различных знаков, но при этом все они отличны от 0, то уравнение в этой точке называется уравнением гиперболического типа.
   
3. 
   Если точке M₀ квадратичная форма в каноническом виде имеет хотя бы один коэффициент равный 0, то уравнение в этой точке называется уравнением параболического типа.
   

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1.