7-ma'ruza: nyuton binomi. Kiritish -yo'qotish (chiqarish) formulas! Kombinotorika formulalarining xossalari

• 7-ma'ruza: NYUTON BINOMI. KIRITISH -YO'QOTISH (CHIQARISH) FORMULAS!. KOMBINOTORIKA FORMULALARINING XOSSALARI

• 3.2. Nyuton binomi haqida umumiy ma’lumotlar. O'rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko'paytirish formula- larini eslaylik:
• (a+b)2=a2+2ab+b2 — yig'indining kvadrati;
• (a+by=a3+3a2b+3ab2 — yig'indining kubi. Yig'indining navbatdagi ikkita, ya'ni 4- va 5-darajalarini hisoblaymiz:

• (a + b)4 = (a + b)(a + b)3 = (a + b)(a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3) =
• = a4 + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4;
• (a + b)5(a + b)(a + b)4 = a5 + 5a 4b + 10a3 + b2 + 10a 2b3 + 5ab4 + b5

• Shunday qilib, yig’indining bikvadrati (ya'ni to'rtinchi darajasi) (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 va yig'indining beshinchi darajasi
• (a + b)5 = a5 + 5a 4b + 10a 3b2 + 10a 2b3 + 5ab4 + b5 (a+b)s=as+5a*b+10a3b2+l0a2b3+5ab*+ b5
• formulalariga ega bo'lamiz.

• Yuqorida keltirilgan yig'indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o'ng tomonlaridagi ko'phad
• koeffitsiyentlari Paskal uchburchagining mos qatorlaridagi Cm (n=2,3,4,5) sonlar ekanligini payqash qiyin emas.
• 1-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun
• formula o 'rinlidir.

• Isboti. Matematik induksiya usulini qo'llaymiz. Baza: n= 1 bo'lganda formula to'g'ri: (a + b)1 = a + b. Induksion o 'tish: isbotlanishi kerak bo'lgan formula n=k uchun to'g'ri bo'lsin, ya'ni

• (a + b)) = ak + C^ak lb + Ckak 2b2 +... + C1) labk 1 + bk.. Formula n=k+1 bo'lganda ham to'g'ri

• T2 k

• ka

• ik-1

• k-1

• ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, Cm+l = C^ + Cm+1 formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:

• m+1

• (a+b)*+1=(a+b)(fl+b)k=