7-ma'ruza: nyuton binomi. Kiritish -yo'qotish (chiqarish) formulas! Kombinotorika formulalarining xossalari

(a+b)(ak+Clkaklb+C2kak2b2+...+Ckk~'abk''+bk) =o*+l +Clkak b+C2kakA b2 +...+Ckabk +

0 k » 1 k—1» 2 s^k—1 * k i^r+1

=Cka b+Cka b +...+Q ab +b = =ak+i+(C°k+Clk)akb+(C'k+C2k)a~'+b2+... ...+(Cki + Ck )abk+bk+l =

=ak+' + c'k+lakb+Cl+lak~'b2+...+Ck+iabk +bk+l. m

• Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun (a + b)” ifodaning ko'phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi, deb ataladi. Umuman olganda, «Nyuton binomi» iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, undagi har ikki so'zga nisbatan ham shubha tug'iladi: birinchidan, (a + b)” ifoda birdan katta natural n

• sonlar uchun binom (ya'ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyuton- gacha ma'lum edi.
• Greklar (a + b)n ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n=2 bo'lgan holida (ya'ni yig'indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom va Ali Qushchi (a + b)n ifodani n>2 bo'lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar uchun ham qo'llagan. L. Eyler 1774-yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchun isbotladi, K. Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko'rsatkichlari uchun qo'lladi. Nihoyat, 1825-yilda N. Abel daraja ko'rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.

• C m sonlarni binomial koeffitsiyentlar, deb ham atashadi. Bunday ta'rif bu koeffitsiyentlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o'rniga qarab berilgan bo'lib, C mn son

• n

• (a + b)n = £ C'man~mbm

• yoyilmadagi an mbm ifodaning koeffitsiyentidir.
• 2-teoreina. Barclia haqiqiy a va b liamda natural n sonlar uchun

• / i\n V / n-m ,m

• (a-b) =>(-1) Cna b

• m- 0

• formula o'rinlidir.

• Isboti. Nyuton binomi formulasida b ni (—b) ga almashtirsak, kerakli formulani hosil qilamiz. ■

• 1-misol. Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko'paytirish formulalari kelib chiqadi: n=2 bo'lganda ayinnaning kvadrati formulasi

• (a—b)2—a2—2 ab+b2\

• n=3 bo'lganda ayinnaning kubi fonnulasi (a-bV=a}-3a2b+3ab2+bi.

• Nyuton binomi fonnulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish

• mumkin.

• Haqiqatan ham, ixtiyoriy a, bx, b2,..., bH sonlar uchun

•