|
> ... > C - natural n va m sonlar uchun-> ltegsizlik o'rinlidir,
- < 1 tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda, C „ -> C
- formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz.
- Agar n toq son bo lsa, m =
- In l ! n l
- ^-r^r+1 o
- Cm'1 =-Cm formuladan m =-bo'lganda Cn 2 = Cn 2
- m +1 2
- tenglik kelib cliqadi. ■
- Binomial koeffitsiyentlarning 5-xossisi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig'i bo'lib, unga ko'ra binomial
- o I;I
- koeffitsiyentlar oldin C ° = 1 dan C„2 J gacha1 o'sadi, keyin esa Cn = 1 gacha kamayadi hamda n toq bo'lganda, binomial koef-
- fitsiyentlar qatorining o'rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo'lganda, uning o'rtadagisi hadi eng katta va yagonadir. Quyidagi 6—8-xossalar o'rinlidir:
- s- n , s'"1 n . /tn y-y n+1
- 6-xossa. Cn + Cn+l + ... + Cn+ k = Cn+k+l.
- .(C )2 +(ck )2 +...+C j = C;„ .
- o /'~J0S~Jk , s~y\ s~yk—1 . . s~yks~y 0 s~ik
- 8-xossa. C„Cm + C„Cm + ... + Cn Cm = C„+m .
- Oxirgi tenglik Koshi1 ayniyati, deb aytiladi. Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6-xossaning isbotini kcltiramiz. Birinchidan,
- S = (1 + x)n + (1 + x)n+k +... + (1 + x)n+k
- ko'phad uchun Nyuton binomi formulasini qo'llab, quyidagi tcnglikni hosil qilamiz:
- S = ^Cmxm + ^C:+lxm +... + ^Cmn+kxm. Bu yerdan, s ko'phaddagi x n ifodaning
- koeffitsiyenti C"n + Cnn+1 + ... + Cl+k
- yig'indiga tengligini aniqlash mumkin.
- Ikkinchidan, s =(l+x)n(l +(1 +x)+...+(1 +x)k) ifodani geometrik progressiya hadlari yig'indisi formulasiga binoan,
- quyidagicha ham yozish mumkin: S = (1 + x
- ligini ko'rish mumkin. Keltirilgan bu mulohazalar asosida 6-xos- sadagi tenglikka ega bo'lamiz. ■
- Ravshanki, C^ = Cn m formula e'tiborga olinsa, 7-xossa 8- xos- sadan m =k =n bo'lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning
- uchun faqat 8-xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz. Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga
- kola, (1 + x) = £ C‘„x‘, (1 + x)m =•£ cy, (1 + x)n+m =£ C,
- n m n+m p
- tengliklarga, bulardan csa (l+x)n (1+x)m=(1+x)n+m bo'lgani uchun ^ Csnxs ^ Ctmxt = ^ C xp
- s=0 t=0 p=0 n+m
- tenglikka ega bo'lamiz. Oxirgi tenglik-
- ning har ikki tomonidagi xk(k=0,l,...,min(m,n)) daraja koef- fitsiyentlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi kerak bo'lgan formulani hosil qilamiz. ■
- Albatta, yuqoridagi uch xossa boshqa usullar bilan ham isbotlanishi mumkin. Quyida 8-xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.
- 2-misol. Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz. n nafar o'g'il va m qiz boladan tashkil topgan talabalar guruhidan K (k= 0,l,...,min(m,n)) talaba tanlash zarur bo'lsin. n+m talabalardan K talabani Ckn+m xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.
- Boshqa tomondan olib qaraganda, n+m talabalardan iborat to'plamdan tanlanadigan barcha K elementli qism to'plamlarni ularning tarkibidagi o'g'il bolalar soniga qarab, sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor. Tarkibida s (o
- bo'lgan K elementli qism to'plamni oldin Csn xil usul bilan tanlab,
- keyin (k—s) qizlarni Ckms xil usullardan birontasi yordamida tanlash mumkin. Demak, tarkibida s o'g'il bola bo'lgan K talabadan
- iborat qism to'plamlar soni, ko'paytirish qoidasiga asosan, CsnCkm s songa tengdir. Noldan k gacha bo'lgan barcha butun
- s sonlar uchun barcha kombinatsiyalar hosil qilgan holda bu kombinatsiyalarga mos ko'paytmalarni yig'ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz. ■
- Binomial koeffitsiyentlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash mumkin. Misol sifatida to'plamlar nazariyasiga tatbiqini qaraymiz.
- 3-misol. Chekli A to'plam 2A bulcanining elementlari va bu elementlar soni bilan binomial koeffitsiyentlarning uzviy bogianishi bor. Bu bog'lanishni quyidagicha ifodalash mumkin. Chekli A to'plam 2A buleani tarkibidagi elementlar A to'plamning qism to'p- lamlaridan iborat bo'lgani uchun, shu qism to'plamlarni quvvatlari bo'yicha (|A| +1) ta guruhga ajratish mumkin. Tushunarliki, bu
- yerda K raqamli guruh (k = 0,| A |) quvvati K ga teng bo'lgan barcha qism to'plamlardan tashkil topadi va undagi qism to'plamlar
- soni Cn ga teng. Bu mulohazani hisobga olgan holda 2-xossa yordamida ushbu 1-teoremaning boshqa bir isbotiga ega bo'lamiz. ■
Do'stlaringiz bilan baham: |
