Œзбекистон республикаси

2-
БОБ. ЭРКИНЛИК ДАРАЖАСИ БИРГА
ТЕНГ БЎЛГАН СИСТЕМАЛАР. 
§2. 1. Системаларнинг эркин тебраниши.
Олдин айтилганидек система деформацияланганда барча массаларнинг 
ҳолати (ўрни)ни белгиловчи геометрик параметрлар сони системанинг эркинлик 
даражаси деб аталади. Агарда система массаларининг ҳолати (ўрни)ни 
белгиловчи параметрлар сони бирга тенг бўлса, бундай системалар эркинлик 
даражаси бирга тенг бўлган системалар деб юритилади. Масалан: вазни нолга 
тенг бўлган пружинага осилган масса (5-расм) ёки бир мссали балка(6-расм). 

5-
расм.Вазнсиз пружинага

осилган масса
.
 
Юқоридагилардан келиб чиқиб, эркинлик даражаси бирга тенг бўлган
системалар эркин тебранишини кўриб чиқамиз. Буни икки хил ҳолда кўриш 
мумкин: 
- 
қаршилик кучи ҳисобга олинмайдиган ҳол (абстракт) ҳол; 
- 
қаршилик кучлари ҳисобга олинадиган (реал) ҳол.
 
Қаршилик кучи ҳисобга олинмаган ҳол: бир массали эластик системанинг 
вертикал йўналишдаги эркин тебранишини кўриб чиқайлик(7-расм). Бу система 
мувозанати бир зумга қўйиб қайтиб олинган ташқи куч таъсири остида бузилган 
ва бунинг натижасида система эркин тебранма ҳаракат қилсин. 
6-расм. Бир массали балка 

---

14 
 
7-
расм. Эркинлик даражаси бирга тенг бўлган система
.
 
Стержен учига оғирлиги Q бўлган юк (нуқта) қўйилган бўлиб, стержен 
(балка) куч таъсирида Уст масофага салқиланади. Тебраниш жараёнида эса масса 
(у) масофага оғади. Натижада унга ҳаракат давомида доимо тикловчи 
(
қайтарувчи) куч ва инерция кучи таъсир қилади (мувозанат тенгламасини 
тузишда пастга йўналиш мусбат деб қабул қилинди) 
Тикловчи куч системанинг эластик реакция кучи бўлиб, масса статик 
мувозанат ҳолатидан четлашганда, уни дастлабки вазиятга қайтаришга интилади 
ва у салқилик миқдорига пропорционал бўлади, яъни 
cy
R
−
=
(2. 1) 
Инерция кучи Iн Даламбер принципига кўра масса билан тезланиш 
кўпайтмасига тенг бўлиб, йўналиши доимо ҳаракат йўналишига тескари бўлади, 
яъни 
..
2
2
y
m
dt
y
d
m
J
н
−
=
−
=
(2. 2) 
Бу система динамик мувозанат шарти қуйидагича ёзилади:
∑
=
+
=
o
R
J
Y
н
(2. 3)
(2. 1) ва (2. 2) ни (2. 3) га қўямиз.
0
2
2
=
−
−
cy
dt
y
d
m
ёки
0
..
=
+ cy
y
m
(2. 4) 
Ушбу ифода иккинчи тартибли чизиқли бир жинсли дифференциал тенглама 
деб аталади ва у қаршилик кучи ҳисобга олинмаган ҳолда бир массали 
системанинг сўнмайдиган эркин тебранишларини ифодалайди.
Охирги тенгламани m га бўлсак, қуйидагича кўринишга эга бўлади: 

---

15 
0
2
2
=






−
+
∑
dt
x
d
m
x
,
2
ω
=
m
c
деб белгиласак, 
0
2
..
=
+
y
y
ω
(2. 5) 
ω
- 
система тебранишининг доиравий частотаси 
(2. 5) тенгламанинг ечими қуйидагича бўлади:
t
c
t
c
y
ω
ω
sin
cos 
2
1
+
=
)
6
.
2
(
 
ω
t
ω
ω
t
ω
cos
sin
2
1
c
c
v
.
y
+
−
=
=
Бу ерда А ва B лар доимийлар бўлиб, улар бошланғич шартлардан 
аниқланади, яъни 
t
=0 да y=y
0
ва v=v
0
у ҳолда охирги ёзилган тенгламаларга асосан
ω
2
0
2
1
0
0
1
c
v
v
c
c
y
y
=
=
⋅
+
⋅
=
=
0
1
y
c
=
ω 
0
2
y
с
=
бу қийматларни (2. 6) га қўямиз
t
v
t
y
y
ω
ω
ω
sin
cos
0 
0 
+
=
ушбу тенгламада
λ
ω
ν
cos
0
A
=
ва
λ
sin
0
A
y
=
деб белгилаш киритсак,
t
A
t
A
y
ω
λ
λ
sin
cos
cos
sin
⋅
+
⋅
=
ω 
)
(
sin
λ
ω
+
=
t
A
y
(2. 9) 
Бу ерда, А – амплитуда,
λ
- 
бошланғич фаза
(2. 9) тенглама эркинлик даражаси бирга тенг бўлган системанинг эркин 
(хусусий) тебранишини ифодалайди. Унинг графиги қуйидаги (8-расм) 
кўринишда бўлади:

---

16