Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва щрта махсус таoлим вазирлиги фарғона давлат унивeрситeти

Натурал қаторнинг олдинги n та сони кубларининг йиғиндисини топиш

nn гача етказилоган кўпайтириш жадвалини сонли квадрат шаклида ёзиб чиқамиз. Шу тариқа жойлаштирилган кўпайтириш жадвали (юқорида эслатиб ўтилган, йил ҳисобимизнинг бошидан илгари VI асрда яшага грек математиги Пифагорнинг номи билан) Пифагор жадвали деб аталади; бу жадвалнинг Пифагорга ҳеч қандай тааллуқи йўқлиги кўпдан аниқланган бўлса-да, бундай аташ одат бўлиб кетган.

1	2	3	4	5	6	7	.......	(n-1)	n
2	4	6	8	10	12	14	……..	2(n-1)	2n
3	6	9	12	15	18	21	……..	3(n-1)	3n
4	8	12	16	20	24	28	……..	4(n-1)	4n
5	10	15	20	25	30	35	…….	5(n-1)	5n
6	12	18	24	30	36	42	……..	6(n-1)	6n
7	14	21	28	35	42	49	……..	7(n-1)	7n
.	.	.	.	.	.	.	……..	.	.
n-1	2(n-1)	3(n-1)	4(n-1)	5(n-1)	6(n-1)	7(n-1)	…..	(n-1)^2	(n-1)n
n	2n	3n	4n	5n	6n	7n	….	n(n-1)	nn

Жадвалимизнинг ҳар бир “наугольники” даги сонлар йиғиндиси тўла кубга тенг бўлишига ишонч қилиш осон (илмий тилда бу шакллар гномом деб аталади):

+


(катта қавслар ичидаги ифода 2 масалада исбот қилинганидек 1 дан n гача ва 1 дан n-1 гача натурал сонларнинг йиғиндиси бўлганликдан n² га тенг).
Шундай қилиб, жадвалимиздаги сонларнинг наугольник бўйича ҳисоланган йиғиндиси:

қаторга тенг.
Иккинчи томондан эса сонларни сатрлар бўйича қўшиб, қуйидаги йиғиндини ҳосил қиламиз:




Лекин биз юқорида (1-масала)

эканлигини кўрган эдик, демак,

яъни: натурал қаторнинг олдинги n та сони кубларининг йиғиндиси шу сонлар йиғиндисининг квадратига тенг.
Мисоллар:


Охирги тенгликни текширинг!
Юқорида натурал қатор сонларига нисбатан чиқарган формулаларимизнинг кўпчилиги Пифагорга маълум эди, баъзилари эса яна ҳам қадимги – Бобил ва Миср математикларига, энг камида бундан 4000 йил илгари маълум бўлган.
Бундан бирмунча вақт кейин, натурал қаторнинг олдинги n та сони тўртинчи, бешинчи, олтинчи ва ҳоказо даражалари йиғиндиларининг формулалари топилган. Булардан қуйидаги формулани кўрсатиб ўтамиз:
;
формулани XV асрда Самарқандда яшаган ўзбек математиги Жамшид Бинни Маъсудиддан ал-Коший топган. Бу математиканинг номи ҳурматга сазовордир. У ўнли касрларни 1425 йилдан олдинроқ ишлатган. Ғарбий Европада эса ўнли касрлар бундан 150 йил кейин ишлатилди. Бироқ, Ғарбий Европада ҳозиргача бу кашф фламандлик инженер Симон Стевинга (1548-1620) нисбат берилиб келмоқда ваҳоланки, Симон Стевиннинг бундан бошқа ҳам кўпгина хизматлари бор.

5-§. Масалаларни тенгламалар ёрдамида ечиш

Юқоридаги мулоҳазаларимизда бир неча марта тенгламалар ҳақида сўз бўлди. Бизга маълумки, тенгламаларни ёки тенгламалар системаларини ечиш умумий схема билан олиб борилади ва қийинлик қилмайди. Масаланинг шартидан тенглама тузиш учун ҳеч қандай умумий қоида йўқлигини ҳам биламиз. Бу тўғрида, юқорида ҳам бир неча марта айтилгани каби, фақат ўйлаш керак, - дейишдан бошқа ҳеч гап айтиш мумкин эмас.

Бу ҳикояда бир мактабда тенгламалар системаларини ечишда қандай воқеа юз берганини кўриб чиқамиз ва бир неча масалани тенгламалар ёрдами билан ҳал қиламиз.
Мактабдаги воқеа
Ўқитувчи VII синфда алгебрадан контрол иш ўтказишда ҳар бир ўқувчига бир хил типдаги тенгламалар системалариниг алоҳида вариантини берди, улар қуйидагилардан иборат:
1) 2x+3y=4 2) 3x+4y=5
5x+6y=7 6x+7y=8
3) 3x+5y=7 4) 4x+7y=10
9x+11y=13 13x+16y=19
5)4x+9y=14
9x+24y=19 ва ҳоказо.
Ўқитувчи “ҳар қанча ман қилинса ҳам, барибир сиз шерингизнинг дафтарига қарайверасиз, шунинг учун мен ҳар бирингизга алоҳида система бердим, энди бир-бирингизнинг дафтарингизга хоҳлаганингизча қарашингиз мумкин” деб, огоҳлантириб қўйди.
Ўқувчилар ўзларига берилган тенгламалар системасини ечиб бўлганларидан кейин, дарров бир-бирларининг дафтарларига қарайдилар ва бирдангина қўл кўтарадилар.

• 
  Ўртоқ ўқитувчи, бу қанақаси?
  
• 
  Нима бўлибди?
  
• 
  Жавоблар бир хил чиқаётибди.
  

Ҳақиқатан, тенгламалар системалари ҳар хил бўлса ҳам, лекин ўқувчилар ажабланганидек, жавоб ҳаммада бир хил эди:

Бундай бўлиши мумкинми?
Ечиш
Кўрсатилган тенглама системаларининг ҳаммасида коэффициентлар умумий бир қоида билан тузилган: системадаги ҳар бир кейинги коэффициент тенгламанинг ўнг қисмини ҳам ҳисобга олиб, бундан олдинги коэффициентга бир хил сон қўшиш билан ҳосил қилинади, олдинги икки системада ҳар қайси коэффициентга биттадан, учинчи системада иккитадан, тўртинчи системада учтадан, бешинчи системада бештадан қўшилади ва ҳоказо (бу хилда тузилган сонлар кетма-кетлишига арифметик прогрессия деб аталишини 9 синфда кўрасиз).
Коэффициентлар шундай қоида билан тузилган тенглама системаларининг ҳаммаси шу системанинг биринчи коэффициенти ҳар қандай сон бўлганда ва коэффициентга қўшиладиган ўзгармас сон ҳам ҳар қандай бўлганда

ечига эга эканлигнини исбот қиламиз.
Бунинг учун шунга ўхшаш ҳарфий коэффициентли бир система оламиз:

Биринчи тенгламани иккинчидан ҳадма-ҳад айириб,

ёки

тенгламани ҳосил қиламиз.
Бу тенгламадан:
Бу қийматтни берилган биринчи тенгламага қўйсак,

ҳосил бўлади, демак:
Шундай қилиб коэффициентлари юқори кўрсатилган қоида билан тузилган икки номаълумли икки тенглама системаларининг ҳаммаси ҳам бир хил:

ечимга эгадир.
Худди шу

ечимга эга бўлган бирмунча умумийроқ шаклдаги икки номаълумли икки тенглама системаси ҳам бор.
Қуйидаги системани кўрайлик:

Бунда ab, km деб фараз қиламиз.
Иккинчи тенгламани биринчидан ҳадма-ҳад айириб,

тенгламани ҳосил қиламиз.
Бу тенгламани қуйидаги икки тенглама системаси билан алмаштириш мумкин:

ёки

бундан

Тенглама системаларининг юқорида кўрилган типларини ўрганиш ҳарфий коэффициетли тенгламаларни ва тенгламалар системаларини ечишда фойда келтиргани учун қизиқарлидир. Бу масалани яна бирмунча умумлаштириш мумкин. Улардан фақат бирини кўрсатиб ўтамиз.
Бир хил ечимга эга бўлиш хоссаси, тенгламаларнинг коэффициентлари юқорида келтирилган икки номаълумли тенгламалар системасининг коэффициентлари тузилган қоидага мувофиқ бўлса ҳам, иккидан ортиқ номаълумли системаларга қўлланиб бўлмайди.
Тенгламани ёрдами билан масала ечиш
“Ўроқчилар артeли бири иккинчисидан икки марта катта бўлган икки ўтлоқни ўришлари кeрак eди. Ўроқчилар тушгача катта ўтлоқни ўришди, сўнгра уларнинг ярми катта ўтлоқда қолди ва кeчгача уни ўриб тамомлади; артeлнинг иккинчи ярми эса иккинчи ўтлоқни ўрди, кeчга бориб, иккинчи ўтлоқдан шундай бор участка қолдиқи, уни бир ўроқчи бир кунда ўриши мумкин.
Артелда нечта ўроқчи бўлган?
Ечиш
Ўроқчилар сони х бўлсин.
Артелдаги ўроқчиларнинг ҳаммаси бир кун ишлади ва иккинчи куни битта ўроқчи ишлаб, иккала ўтлоқ ўрилди. Иккала ўтлоқчи ўриш учун бир ўроқчига х+1 кун керак бўлар эди. Иккала ўтлоқнинг қисмига тенг бўлган кичик ўтлоқни ўриш учун кун керак бўлади. Иккинчидан, кичик ўтлоқни ўриш учун артелнинг ярми кун (яъни ўроқчи кун) ишлади, бошқача айтганда бутун артель кун ишлаши ва бир ўроқчи бутун бир кун ишлаши керак бўлди, яъни кичик ўтлоқни ўриш учун кун керак бўлди. Демак: