Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва щрта махсус таoлим вазирлиги фарғона давлат унивeрситeти

4-§. Масала ечими учун формулалар ҳосил қилишда чизма ёрдами

1.

Тенгликни чизма ёрдамида исботланг.
Ечиш
Биринчи томони а, иккинчисининг томони b бўлган иккита квадрат берилган. Штрихланган юз шу квадратлар юзларининг айирмасига, яъни

га тенг.
Штрихланган шаклларни бундай жойлаштирамиз.

(a+b)(a-b)

Ҳосил қилинган тўғри тўртбурчакнинрг юзи унинг асоси билан баландлигининг кўпайтмасига, яъни
(a+b)(a-b)
кўпайтмага тенг.
Биргина юзнинг катталигини ифодалаш учун икки ифода ҳосил қилдик, яъни

Изоҳ. Ҳосил қилинган натижадан қуйидаги жуда муҳим бир тушунчани исбот қилишда фойдаланиш мумкин.
Бир хил периметрли тўғри тўртбурчаклардан бўйи ва эни тенг бўлганининг юзи, яъни ўша периметрга эга бўлган квадратнинг юзи энг каттадир.
Исбот.
Тўғри тўртбурчакнинг катта томонини a+b билан, кичик томонини a-b билан белгилаймиз. У вақтда тўғри тўртбурчакнинг периметри

ифодага, юзи эса

ифодага тенг бўлади.
Агар b=0 бўлса, юз энг катта бўлиши маълум. Бу ҳолда тўғри тўртбурчакнинг иккала томони ҳам а га тенг ва тўғри тўртбурчагимиз квадрат бўлади.

Сонли мисол

Тўғри тўртбурчакнинг томонлари 19 ва 13 бўлсин; бу тўғри тўртбурчакининг периметри:
2  19 + 2  13 = 64 = 4 16
Периметри 64 га тенг бўлган ҳамма тўғри тўртбурчаклардан юзи энг катта бўлгани – томони 16 га тенг бўлган квадратдир. Бу хулосани сонли мисоллар устида текшириб кўрайлик.
Томони 16 га тенг бўлган квадратнинг юзи: 16²=256.
Томонлари: 17 ва 15 та тенг бўлган тўғри тўртбурчакнинг юзи: 17  15=255.
Тўғри тўртбурчакнинг периметри ўзгармас (64) бўлганда унинг бўйин билан эни орасидаги фарқ қанча катта бўлса юзи шунча кичкина бўлади.

Бўйи	Эни	Юзи
16	16	256
17	15	255
18	14	252
.....	......	.....
30	2	60
31	1	31

Бу кузатишлар юқорида исбот қилинган тушунчани эслатади: периметрлари тенг бўлган тўғри тўртбурчаклардан юзи энг каттаси квадратдир. Бу тушунча қуйидаги тушунча билан тенг кучли: юзлари тенг бўлган тўғри тўртбурчаклардан энг кичик периметрга эга бўлгани квадратдир; ёки бундай дейиш ҳам мумкин: йиғиндиси берилган иккита кўпайтувчи бир-бирига тенг бўлганда уларнинг кўпайтмаси энг катта бўлади.

1-изоҳ. Периметрлари тенг бўлган шакллар изопериметрик шакллар дейилади. Шунинг учун юқорида исбот қилинган теоремани бундай ифода этиш мумкин:
Изопериметрик тўғри тўртбурчаклардан юзи энг катта бўлгани квадратдир.
2-изоҳ. Қадимги вақтда кўп халқлар, балки ҳамма халқлар, периметрлари тенг (изопериметрик) шаклларнинг юзлари ҳам тенг (улар тенгдош) деб ҳисоблагандар. Масалан, римлик ёзувчи Гораций ўз замондошоларининг бундай ҳато қарашга эргашганликларидан ўкинади. Бу қарашга асосан, масалан, доира-периметри шу доира айланасининг узунлигига тенг бўлган квадратга тенгдош, деб айтилган. Бундай қарашнинг нотўғрилиги маълум.
Айлананинг узунлиги 6,28 r (r- доиранинг радиуси), доиранинг юзи 3,14  r² (иккала натижа ҳам тақрибий).
Агар доирани каноп билан айлантириб чиқиб, бу канопдан квадрат ясалга, бу квадратнинг бир томони , квадратнинг юзи эса га тенг бўлади. Бу сон доиранинг юзини ифодаловчи 3,14  r² сонига тенг эмас.
3-изоҳ. Л.Н.Толстойнинг “Очкўзлик” («Много ли человеку земли нужно») номли ҳикоясида бошқардлар харидорга у бир кунда қанча ерни чопиб айланиб чиқа олса, шунча ерни 1000 сўмга сотишлари ҳикоя қилинади. Очкўз харидор Пахом 1000 сўмга кўп ер олиш учун жуда тез топиб, ҳолдан кетади ва кечгача бошқирднинг олдига етиб келолмасдан йиқилиб ҳалоқ бўлади. Юқорида изопериметрик тўғри тўртбурчаклар ҳақида исбот қилинган тушунчадан маълумки, агар Пахом ўзига тўғри тўртбурчак шаклида ер участкаси ажратиб олмоқчи бўлса, у квадрат шаклидаги ёки бўйи ва эни бир бири-биридан жуда оз фарқ қиладиган тўғри тўртбурчак шаклидаги далани айланиб чиқиши фойдали бўлар эди.
Масала. формуланинг баъзи бир татбиқлари
1.Баъзи сонларнинг кўпайтмасини тез топиш


ва ҳ.к.


ва ҳ.к.
2.Бундай кўпайтиришлар учун юқорида топилган формуланинг иккинчи бир натижасидан фойдаланиш мумкин.
дан
келиб чиқади.
Агар кичиқроқ сонларнинг квадратлари эсда тутилса, у вақтда қуйидагича киришмоқ мумкин:


4 Масала. Ажойиб тенгликлар:

Бу тенгликлар қуйидагича чиқарилади.
Масалан, a+b=1001, a-b=111 бўлсин.
а ва b ни топамиз:

Бу тенгликларни ҳадма-ҳад қўшиб ва айириб қуйидагиларни топамиз:
2a=1112, бундан а=556;
2b=890, бундан b=445.
a+b ва a-b ни мос равишда 101 ва 11; 10001 ва 1111 ва ҳоказо қабул қилсак, жадвалимизнинг қолган сонларини ҳосил қиламиз.