Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечиш

ЧИЗИҚЛИ АЛГЕБРАИК ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИНИ ЕЧИШ.
(1)

чизиқли алгебраик тенгламалар системаси берилган.

Гаусс методи.

Гаусс методининг асосий ғояси (1) - системани эквивалент алмаштиришлар ёрдамида тўғри тўртбурчакли системадан учбурчакли системага олиб келишдан иборат.

Гаусс методининг тўғри йўли.
(1) - системани тенгламалар кўринишида ёйиб ёзамиз:

(2)
.................................................

деб фараз қиламиз, акс ҳолда тенгламалар ўрнини алмаштириш ва қайта белгилаш билан системани шу кўринишга келтирамиз.
Биринчи тенгламани - га бўлиб,
(3)
тенгламани ҳосил қиламиз, бу ерда

Энди (2) - системанинг қолган тенгламаларини қараймиз
(4)
(3) - тенгликни - га кўпайтириб, (4) - системанинг -тенгламасидан айирамиз, . Натижада

(5)
......................................................


тенгламалар системасини ҳосил қиламиз.
Бу ерда
(6)
(5)-системанинг матрицаси

кўринишга эга.

Бундай кўринишли матрицани

каби белгилаш қабул қилинган.
Бу ерда " " белги билан ноль бўлмаган элементлар белгиланган.
(5) - системадаги - номаълум фақат (1)-тенгламада бор бўлиб, бошқа тенгламалардан йўқотилган.
Шундай қилиб, Гаусс методининг биринчи қадами амалга оширилди.
Бундан сўнг

.............................................................. (7)


система билан ишлаймиз.
Агар , бўлса, унда (7) - системадан худди биринчи қадамдагидек, - ни йўқотиб, (2) - системага эквивалент бўлган матрицаси

кўринишли системага келамиз.
Бунда (5) - системанинг биринчи тенгламаси ўзгаришсиз қолади. Худди шундай ўзгарувчиларни йўқотиб, (2) - системага эквивалент бўлган


.............................. (8)


системага эга бўламиз.
Бу система матрицаси
(9)

бош диагоналидан пастдаги барча элементлари нольдан иборат.

Бундай матрицаларни юқори учбурчакли матрица деб айтиш қабул қилинган.

Гаусс методининг тескари йўли
-ларни кетма-кет топишдан иборат. (8) - система матрицаси учбурчакли бўлганлиги учун кетма-кет топиш мумкин.
Ҳакикатан ҳам, ва ҳоказо.
Тескари йўлнинг умумий формулалари

(10)
Мисол . Гаусс усули( Mathcad тизимида) n=3 холда
чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечиш талаб қилинган бўлсин. Бу ерда ўлчовли квадрат матрица; ўлчовли берилган вектор; - топилиши лозим бўлган - ўлчовли номаълум вектор. Ечимни аниқлик билан топиш талаб қилинган бўлсин. Соддалик учун матрица ва вектор сифатида
, ,
оламиз. Бу ерда - матрицанинг қаторлар сонини ҳисоблаб берувчи MathCad тизимининг ички қурилган функцияси. Гаусс усулини қўллашни бошлаймиз. Шу мақсадда матрица ва - вектор биринчи қаторини матрицанинг биринчи қаторидаги биринчи элементига бўламиз. Бунда ушбу элемент нолдан фарқли деб фараз қиламиз.
, ,
, .
_{Бу ерда submatrix(A,ir,jr,ic,jc) - A матрицанинг ir қаторидан jr қаторигача ва ic устунидан jc устунигача бўлган элементларидан иборат матрицани қайтарадиган MathCad тизимининг ички қурилган функцияси.}
қатор ва -ни матрицанинг иккинчи қаторидаги биринчи элементига кўпайтирамиз, сўнг мос равишда матрица ва - векторнинг иккинчи қаторидан айирамиз.
,
,
қатор ва -ни матрицанинг учинчи қаторидаги биринчи элементига кўпайтирамиз, сўнг мос равишда матрица ва - векторнинг иккинчи қаторидан айирамиз.


,
, .
Ушбу амалларни бажаришдан сўнг матрица


, ,
, .

кўринишни қабул қилади. Бу ерда - ни тепасида жойлаштириб ҳосил бўладиган массивни қайтарадиган MathCad тизимининг ички қурилган функцияси. - матрицани хотирада - ном билан ёзиб қўямиз: . матрица ва - вектор иккинчи қаторини матрицанинг иккинчи қаторидаги иккинчи элементига бўламиз.

, ,
, .
матрицанинг иккинчи қатори ва -ни матрицанинг учинчи қаторидаги иккинчи элементига кўпайтирамиз, сўнг мос равишда матрица ва - векторнинг учинчи қаторидан айирамиз:
,
, ,
,
Ушбу амалларни бажаришдан сўнг матрица


,
кўринишни қабул қилади. Шундай қилиб кетма-кет алмаштиришлар ёрдамида А - матрица учбурчакли кўринишга (диагоналдан пастда жойлашган барча элементлар ноллардан иборат) келтирилди. Ушбу жараён Гаусс методининг тўғри йўли дейилади. Гаусс усулидаги тескари йўли ёрдамида илдизларни топамиз:
,
,
.
Илдизлар
, ,
иборат бўлади. Ушбу илдизлар дастлабки тенгламалар системасининг ҳақиқий илдизлари эканлигини бевосита ўрнига қўйиш усули билан текширамиз.
, , .
Бу ерда r - хатолик вектори бўлиб, унинг нормаси берилган аниқликдан кичиклиги кўриниб турибти. Демак масала тўла ҳал қилинди.
Гаусс методини қўллаш учун

бўлиш ва кўпайтириш амалини бажариш лозим. Шартланганлик сони эса

тенг бўлади.