Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва щрта махсус таoлим вазирлиги фарғона давлат унивeрситeти

Тенглама тузишнинг иккинчи усули
Иккала ўтлоқни ўриш учун x+1 иш куни кераклигини аниқланимиздан кейин катта ўтлоқдаги иш кунларининг сони учун икки хил ифода топа оламиз ва бу ифодаларни бир-бириг тенглаб, х ни аниқлаш учун ифода ҳосил қиламиз.
Катта ўтлоқ иккала ўтлоқнинг қисмидан иборат бўлгани учун, уни

кунда ўриш мумкин.
Уни бутун артель кунда ўрди, бу эса иш куни бўлади ва ярим артель яна кун ишлади, бу эса иш куни бўлади; катта ўтлоқни ўриш учун ҳаммаси бўлиб иш куни керак бўлди.
Демак,

тенгламани ҳосил бундан
х=8


Тенглама тузишнинг учинчи усули
Кичик ўтлоқни ўриш учун бир ўртоқчининг кун ишлаши керак бўлди; катта ўтлоқ учун бу сон бўлади. Кичик ўтлоқ катта ўтлоқдан икки марта кичик; бу ҳолда иш кунлари сонларнинг нисбати қуйидагича бўлади:




.


Янги номаълум киритиш ёрдами билан ечиш
Масалани тенглама ёрдами билан ечишда купинча янги номаълум киритиш фойдали бўлади; масаланинг маъносига қараганда бу номаълумнинг қийматини топиш керак бўлмайди, лекин у тенглама тузишни осонлаштиради.
Зртоқчилар сонини аввалгидек х билан белгилаймиз. Бир ўроқчининг бир кунда ўрган участкасини у ҳарфи билан белгилаймиз.
Катта ўтлоқда х ўртоқчи кун ва ўроқчи ярим кун ишлади; катта ўтлоқни бундай ифодалаш мумкин:
ёки
Кичик ўтлоқда ўроқчи кун ва бир ўроқчи бутун кун ишлади; кичик ўтлоқни бундай ифодалаш мумкин:
ёки
Катта зтлоқ кичик ўтлоқдан икки марта катта бўлгани учун


.
Ньютон масаласи
“Ньютон масаласи” номини олган масала ҳам ёрдамчи номаълум киритиш йўли билан ечилади.
Зичлиги ва ўсиш тезлиги бир хил бўлган учта ўтлоқнинг юзи: , 10 ва 24 акр (1 акр – 0,405 гектар). Биринчи ўтлоқ 12 ҳўкизни 4 хафта тўйдирди, иккинчиси 21 ҳўкизни 9 ҳафта тўйдирди. Учинчи ўтлоқ нечта ҳўкизни 18 хафта тўйдира олади?
Ечиш
1 акр ерда бир ҳафтада усадиган дастлабки ўт запасини ёрдамчи номаълум у билан белгилаймиз. Биринчи ўтлоқда ўтнинг бир ҳафтада ўсиши у, 4 ҳафтада ўсиши эса , яъни дастлаб унда бўлган ўт миқдорининг тўрт ҳиссаси қадар бўлади. 1 акр ерда бир ҳафтада ўсадиган ўт миқдори у бўлганликдан, ўтнинг умумий миқдори (дастлабки ва яна тўрт ҳафта давомида ўсгани)
акр
ерда усган ўт миқдорига тенг бўлади.
Демак, 12 ҳўкиз 4 ҳафтада акр ердаги ўтни еди, бир ҳўкиз бир ҳафтада ўша ўтнинг қисмини, яъни
акр
ердаги ўтни еди.
Иккнчи ўтлоқ учун ҳам шу хилда ҳисоблаймиз:
1 акр ерда ўтнинг бир ҳафтада ўсиш миқдори у
1 акр ерда ўтнинг 9 ҳафтада ўсиш миқдори 9у
10 акр ерда ўтнинг 9 ҳафтада ўсиш миқдори 90у
Иккинчи ўтлоқдаги ўт запаси ва унда 9 ҳафта давомида ўсган ўт миқдори
10 + 90 у акр
ердаги ўт миқдорига тенг.
Бу ўтни 21 ҳўкиз 9 ҳафта давомида ейди; бир ҳўкиз бир ҳафтада
акр
ердаги ўтни ейди.
Ҳўкизларнинг ҳаммаси баравар миқдорда ўт ейди деб ҳисобланган, охирги сон биринчи ўтлоқ учун ҳосил қилинган сонга тенг бўлиши керак

Бундан .
у ни билгандан кейин, ўзидаги запас ўт билан бир ҳўкизни бир ҳафта давомида тўйдира оладиган ўтлоқнинг юзини, яъни нинг даги сон қийматини топа оламиз:
акр
24 акр бўлган учинчи ўтлоқ х ҳўкизни 18 ҳафта давомида тўйдира олади, бунинг учун акр ўтлоқ керак бўлади. Ўтнинг ўсиши акр ердаги ўт запасга ва 18 ҳафта давомида кйилган ўтнинг ҳаммаси 24+36=60 акр ердаги ўт запасига тенг:
,
.
Учинчи ўтлоқ 18 ҳафта давомида 36 ҳўкизни тўйдира олади.
Изоҳ. Юқорида келтирилган шаклдаги масалаларнинг асосий намунаси “Қуёшнинг ҳўкизлари ҳақидаги масала” номи билан қадимдан қолган маълум масаладир. Бу масала бутун даврларнинг энг улуғ математиги ҳисобланган Архимедга нисбат берилади (йил ҳисобимизнинг бошидан 287-212 йил илгари). Бу масала 44 байтда баён қилинган бўлиб, унда 8 номаълум бор ва бу номаълумларнинг ҳаммаси битта номаълум орқали ифодаланади. Ана шу номаълумнинг қийматини топиш учун

тенглама илдизларининг бутун мусбат қийматларини топиш керак бўлади.
шаклдаги тенгламани (бунда мусбат бутун сон К аниқ квадрат эмас) Леонард Эйлер уни Пелл тенгламаси деб атаган.
XVII ва XVIII аср Европа математиклари тенгламалада у² ёнидаги коэффициент аниқ квадрат бўлмаса, у ҳолда бу тенгламани қаноатлантирувчи х ва у учун ҳамма вақт чексиз кўп бутун қийматлар мавжуд бўлишини (ёки бу тенгламанинг чексиз кўп бутун мусбат ечимлари борлигини) исбот қилганлар Пелл тенгламасининг энг кичик ечимидан унинг қолган қийматларини тузиш қонуни топилган. Шунинг учун Пелл тенгламасининг энг кичик мусбат ечимини топиш муҳимдир. Пелл тенгламасини ечиш усули математиканинг сонлар назарияси ёки олий арифметика деб аталган қисмида берилади.
“Қуёш ҳўкизлари” ҳақидаги тенгламанинг энг кичик ечими мана бундан иборат:
y= 50 549 485 234 033 074 477 819 735 540 408 986 340.
x= 109 931 986 732 829 734 979 866 232 821 433 543 901 088 049.
Бу сонлар аниқ мазмунга эга бўлган тенгламани ечишда номаълумнинг бирон вақт олган энг катта қийматларидан иборатдир.
Тенглама тузиб ечиладиган масалалар.
1-масала. Икки уйда 48 та дераза бор бўлиб, уларнинг биридаги деразалар сони иккинчисидагидан 2 та ортиқ. Хар қайси уйнинг қанчадан деразаси бор?
Ечиш: Бринчи уй деразаларини сони x билан белгилаймиз, у холда иккинчи уйдаги деразалар x+2 та бўлади. Иккала уйнинг деразалар сони эса x+(x+2) та бўлади. Масала шартига биноан: х+(х+2)=48, бундан 2х+2=48
Демак, 2х=46
Х=23.
Биринчи уйда 23 та иккинчи уйда эса 25 та дераза бор.
2-масала. Тўгаракка келмаганларнинг сони тўгаракка келганлар сонининг ыисмига тенг. Яна икки ўқувчи тўгаракдан жавоб сўраб кетса, тўгаракда йўқларнинг соно тўгаракда борлар сонинг 20% ни ташкил қилади. Тўгаракда ъаммаси бўлиб нечта ўқувчи бор?
Ечиш: 1) тўгаракка келган ўқувчиларни 8 қисм десак, тўгаракка келмаганлар шундан 1 қисмини ташкил қилади. Шунда ъамма ўқувчилар 9 қисмни ташкил қилиб, тўгаракка келмаганлар ъамма ўқувчиларнинг қисмини ташкил қилади.
2) 20% ни касрга айлантириб, тўгаракка қатнашмаганлар қатнашганларнинг қисмини ташкил қилишини англаймиз. Демак, икки ўқувчи чиқиб кетгандан кейин тўгаракка қатнашганлар барча тўгарак аъзолари сонини қисмини ташкил қилар экан.
3) 2 ўқувчи --- қисмни ташкил қилади.
4) Ъаммаси бўлиб 36 ўқувчи тўгаракка аъзо экан.
3-масала. Болахона полининг юзи . Бунга қалинлиги 4 см тахтадани пол қилишмоқчи. Бу полдан пастга тушадиган нарвон учун ўлчамлари бўлган тешик қолдириш керак. Агар бу пол қилиш учун келтирилган тахтанинг 15% қиринди ва бошқа чиқиндиларга чиқиб кетадиган бўлса, ъаммаси бўлиб неча куб метр тахта олиш керак бўлади?
Ечиш:
1) -болахонанинг юзи.
2) -тешикни юзи.
3) -пол юзи.
4) миқдордаги тахта керак.
5) Бу эса ишланмаган тахтанининг 100%-15%=85%
Шунинг учун умумий керак бўладиган тахта.
4-масала.Учта синфда ҳаммаси бўлиб 119 нафар ўқувчи бор. Биринчи синфда иккинчи синфдан 4 та ўқувчи кўп, учинчи синфда эса 3 та кам, хар бир синфда нечтадан ўқувчи бор?
5-масала.Поезд тартибида цистерналар, платформалар ва юк вагонлари бор. Цестерналар платформалардан 4 та кам, юк вагонларидан эса 8 та кам. Агар цестерна, платформа ва юк вагонларининг умумий сони 60 та бўлса, поезд тартибида уларнинг ҳар биридан нечтадан бор?
6-масала.Учта цехда 869 та деталь тайёрлайди. Иккинчи цехда биринчи цехга қараганда 3 марта кўп, учинчи цехда эса иккинчисидагидан 2 марта кам деталь тайёрланди. Ҳар бир цехда нечтадан детал тайёрланди?
7-масала. Дарахт кесувчилар бригадаси ҳар куни белгиланган нормани 16м³ га ортиқ бажариб, хафталик (6 иш куни) топшириқни 4 кунда бажарди. Бригада бир кунда неча куб метрдан дарахт кесган?
8-масала.Онаси 50 ёшда, қизи эса 28 ёшда. Неча йил олдин қизи онасидан 2 марта ёш бўлган?
9-масала.Отаси 40 ёшда, ўғли эса 28 ёшда. Неча йил кейин отаси ўғлидан икки марта катта бўлади.
10- масала.Агар маданият уйи ўз биносини маҳлум бир қисмини йилига 50 мингдан ижарага берса, неча йилда 500 минг даромат қилиш мумкин?
11-масала.Театр залида дастлаб 26 та томошабин бор эди. Уларга маьлум миқдордан томошабин қўшилгандан сўнг 500 ўринлик барча жой банд бўлди. Қанча томошабин залга кейин келишган?


Хулоса
Мактабда математикани ўрганиш турли хил математик масалаларни ечиш орқали амалга оширилади. Шу сабабдан услубиятчилар математик масалаларнинг математика ўқитишда қуйидаги вазифалари мавжудлигини таъкидлайдилар:
1) умумтаълим;
2) амалий ;
3) ривожлантирувчи:
4) тарбия-вий;
5) назорат этиш.