Œзбекистон республикаси олий ва œрта

1-теорема. Агар интервалда ва функция-ларнинг ҳар бири функциянинг бошланғич функцияси бўлса, у ҳолда ва функциялар да бир-биридан ўзгармас сонга фарқ қилади:

◄ Шартга кўра да , .
Демак, да . У ҳолда 21- маърузада келтирилиган 2-натижага кўра

бўлади. ►
Бу теоремадан қуйидаги натижа келиб чиқади.
Натижа. Агар да функция нинг бирор бошланғич функцияси бўлса, у ҳолда функциянинг даги ихтиёрий бошланғич функцияси учун

бўлади.
1-Эслатма. да берилган ҳар қандай функция ҳам бошланғич функцияга эга бўлавермайди.
1-мисол. интервалда ушбу

функцияни қарайлик.
Бу функциянинг интервалда бошланғич функцияга эга бўлмалиги исботлансин.
◄Тескарисини фараз қилайлик, яъни берилган функция да бошланғич функция га эга бўлсин: .
Равшанки,
(1)
бўлади.
Бу функцияга сегментда Лагранж теорема-сини қўллаб топамиз:
.
Кейинги тенгликдан

бўлиб, бўлиши келиб чиқади. Бу эса (1) муносабатга зиддир.
Демак, қаралаётган функция да бошланғия функцияга эга бўлмайди. ►
2-Теорема. Агар бўлса, у ҳолда функция да бошланғич функцияга эга бўлади.
Бу теореманинг исботи 34- маърузада келтирилади.
2⁰. Функциянинг аниқмас интеграли. Интегралнинг хоссалари. Айтайлик, да функция берилган бўлиб, функция унинг бирор бошланғич функцияси бўлсин:
.
У ҳолда берилган функциянинг ихтиёрий бошланғич функцияси

кўринишда ифодаланади.