Œзбекистон республикаси олий ва œрта

27-маъруза
Лопиталь қоидалари

Маълум шартларда функция лимитини ҳисоблаш қоидалари ўрганилган эди. Кўп ҳолларда бундай шартлар бажарилмаганда, яъни

да : ни лимити ни топишда функциянинг ҳосилаларига асосланган қоидага кўра ҳисоблаш қулай бўлади. Бундай усул билан функция лимитини топиш Лопиталь қоидалари дейилади.
1⁰. кўринишидаги ҳоллар.
1-теорема. Фараз қилайлик, ва функциялар да берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:
1)

2. 
   ҳосилалар мавжуд;
   
3. 
   
   
4. 
   Ушбу мавжуд. У ҳолда бўлади.
   

◄ деб оламиз. Унда ва функциялар узлуксиз бўлиб қолади. Теореманинг 4-шартига кўра:

бўлади.
Энди да Коши теоремасидан фойдаланиб топамиз:

Демак,
.
Шуни исботлаш талаб қилинган эди. ►
1-мисол. Ушбу

муносабат исботлансин.
◄ функциялари учун да 1-теореманинг барча шартлари бажарилади:

2)
3)
4)
Демак,
►
2-теорема. Айтайлик, ва функциялар да берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:

да ҳосилалар мавжуд;
да
4) Ушбу

мавжуд . У ҳолда

бўлади.
◄ деб, деймиз. Унда бўлиб, да . Энди ва функцияларни қуйидагича

аниқлаймиз. Унда
да


бўлиб, 1-теоремага кўра, да

бўлади. Кейинги муносабатдан эса

бўлиши келиб чиқади ►
2-мисол. Ушбу

лимитни ҳисобланг.
◄Агар дейилса, улар учун 2-теореманинг барча шартлари бажарилади, жумладан

бўлиб,

бўлади. 2-теоремага кўра

бўлади. ►
Қуйидаги теоремалар ҳам юқорида келтирилган теоремаларга ўхшаш исботланади.
3-теорема. Фараз қилайлик, ва функциялар да берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:
1)
2) да ҳосилалар мавжуд;
3) да
4) Ушбу мавжуд. У ҳолда

бўлади.
4-теорема. Фараз қилайлик, ва функциялар да берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:
1)
2) да ҳосилалар мавжуд;
3) да
4) Ушбу мавжуд. У ҳолда бўлади.