Œзбекистон республикаси олий ва œрта

8-теорема. Фараз қилайлик функция тўпламда берилган ва бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:
1) ҳосила мавжуд;
2) ҳосила мавжуд;
3)
У ҳолда бўлганда функция нуқтада экстремумга эришиб, бўлганда нуқтада максимумга, да минимумга эришади.
Агар бўлса, функция нуқтада экстремумга эришмайди.
◄ функциянинг нуқтадаги Тейлор формуласи

ни оламиз. Бу формула теореманинг шартида ушбу

кўринишга келади. Бундан эса да

бўлиши келиб чиқади.
« » нинг таърифига кўра сон учун нуқталарда

бўлади. Демак, учун

миқдорлар бир хил ишорали бўлади. Бундан эса да

нинг ишораси айирманинг ишораси билан бир хил бўлиши келиб чиқади.
Агар бўлиб, бўлса, унда , яъни бўлади. функция нуқтада минимумга эришади.
Агар бўлиб, бўлса, унда , яъни бўлади. функция нуқтада максимумга эришади.
Агар бўлса, айирма ишора сақламайди. Бу ҳолда функция нуқтада экстремумга эришмайди. ►
Хусусан, агар нуқта функциянинг стационар нуқтаси бўлиб, функция нуқтада чекли ҳосилага эга бўлса, шу нуқтада функция бўлганда максимумга, минимумга эга бўлади.
2-мисол. Ушбу

функция экстремумга текширилсин.
◄ Бу функция аниқланган бўлиб, у шу тўпламда узлуксиз. Унинг ҳосиласини топамиз:
(1)
Равшанки, функциянинг ҳосиласи нуқтада нолга аланади: ; нуқтада эса функциянинг ҳосиласи мавжуд эмас.
Ҳосила ифодаси (1) дан кўрнадики, нуқтанинг чап томонидаги нуқталарда ўнг томонидаги нуқталарда бўлади. Демак, берилган функция нуқтада минимумга эришади ва бўлади.
Яна ҳосила ифодаси (1) дан кўринадики, нуқтанинг чап томонидаги нуқталарда , ўнг томонидаги нуқталарда бўлади.
Демак, функция нуқтада максимумга эришади ва бўлади. ►


Машқлар

1. 
   функциянинг ҳосиласи нолга тенг бўлган нуқтада функция экстремумга эришиши шарт эмаслиги исботлансин.
   
2. 
   Ушбу
   

функция экстремумга текширилсин.
3. Айтайлик, бўлсин. Бу функциянинг даги энг катта ва энг кичик қийматлари қандай топилади?